Rekenproject: Kolomrekenen

Ben Wilbrink

rekendidactiek
    ’functioneel rekenen’ — ‘mechanistisch’ — ‘realistisch’
        trucjes     ‘handig’ rekenen — hoofdrekenen — schattend rekenen — kolomrekenen
    contexten —         reflecterenrekenmachine



Deze pagina wordt een verzamelplaats voor wat er in de literatuur is te vinden over de oorsprong van het kolomrekenen zoals voorgestaan door de Freudenthal-groep, verandering in het denken over dat kolom-rekenen, kritiek op dat kolomrekenen.

Ik moet niet de fout maken te veronderstellen dat kolomrekenen en andere bizarre methoden de uitvindingen zijn van de Freudenthal-groep. Zie bijvoorbeeld een overzichtje van Bas Braams over methoden voor de vier basale rekenoperaties in ¶lsquo;Everyday Mathematics’;: zie hier.


Vanwege mijn project Toetsvragen ontwerpen moet ik over dat kolomrekenen weten hoe dat in de wereld is gekomen, wat eraan is onderzocht, etcetera. Kolomrekenen wordt door de realistisch rekenaars zoals Van den Heuvel-Panhuizen (2001) geclaimd als uniek voor het realistisch rekenen. Ik kom bij mijn naspeuringen daarom terecht bij Hans Freudenthal, waarvan ik al veel heb gelezen en heb proberen te begrijpen, bij het Wiskobas-project van het Utrechts IOWO 'van' Freudenthal, de opvolgers daarvan in een Utrechtse vakgroep, het Freudenthal Instituut, en bij de rekenmethode die hieruit is gegroeid: Realistisch Rekenen, Realistic Mathematics Education. Een vreselijke naam, omdat er een impliciet waardeoordeel in schuilt over alle andere rekenmethoden van deze wereld, maar zo schijnt het niet bedoeld te zijn.

Mijn beweegredenen zijn niet alleen maar nieuwsgierigheid. Bij lezing van het artikel van Jan van de Craats Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen pdf heb ik mij verbaasd over dat kolomrekenen, en dat deze slordige, want persoonlijke, algoritmen kennelijk in het realistisch rekenen aanvaardbaar zijn als eindniveau voor een behoorlijk aantal leerlingen.


A. Treffers (2008). Het voorkomen van ongecijferdheid. Panama Post, 27 (3/4), 15-18. pdf

“De rekendidactische fundering van de genoemde ‘hoofdrekenmethoden’ is behoudens de methode van Diels en Nauta ontleend aan Van Gelder (1959) die niet alleen talrijke voorbeelden van hoofdrekenstrategieën geeft, maar ook het kolomsgewijze staartdelen behandelt. In de methode ‘Boeiend Rekenen’ wordt deze ‘nieuwe’ staartdeling prak- tisch uitgewerkt. Trouwens ook in het buitenland is deze kolomsgewijze staartdeling al sinds jaar en dag in gebruik.”

Treffers 2008 blz. 18 noot 1

Dat het kolomrekenen door Van Gelder zou zijn geïntroduceerd of tenminste behandeld, is een verbijsterende mededeling van Adri Treffers. Ik heb niet de editie van 1959 bij de hand, maar ik neem aan dat de vijfde druk van 1969 adequaat is om de bewering van Treffers te toetsen. Van Gelder besteedt veel aandacht aan hoofdrekenen, wat bij hem functioneel rekenen is (p. 18), waarbij de leerlingen gebruik maken van getalrelaties om de opgaven uit te werken, of leren gebruik te maken van getalrelaties om de opgaven te doen. De basis moet dan wel een goede beheersing van de rekenfeiten zijn (tafels van optellen, aftrekken en vermenigvuldigen). Bij dit hoofdrekenen verbiedt Van Gelder het leren van ‘vaste kunstjes’, zoals 98 x 102 = 1002 - 22. Voor het vermenigvuldigen en delen is er bij Van Gelder sprake van didactische voorbereiding of aanloop, zie blz. 71 en 72, mogelijk dat Treffers dit aanziet voor kolomrekenen en de hapmethode, maar dan is hij toch behoorlijk ver van huis.


Adrian Treffers (1978/1987). Three dimensions. A model of goal and theory description in mathematics instruction - The Wiskobas project. Dordrecht: Reidel. (De editie 1978 is zijn proefschrift, in het Nederlands, de 1987-editie is daarvan een vertaling en een uitbreiding).

In het nieuwe hoofdstuk VI, blz. 197-217is het kolomrekenen uitvoerig aan de orde. Dat komt heel goed uit. Bovendien is dit een geschikte publicatie als speerpunt voor de analyse, omdat Treffers en anderen dan ruim de tijd hebben gehad om op uitspraken in het proefschrift van 1978 terug te komen. Ik zie niet dat die tussenliggende jaren tot iets meer bescheidenheid in de claims over Wiskobas hebben geleid. Het boek is niet online beschikbaar, en mogelijk verstopt in universiteitsbibliotheken, maar wie op het www zoekt naar Wiskobas, vindt snel de nodige publicaties die in lijn liggen met dit werk van Treffers.



Hans Ter Heege (1985). The acquisition of basic multiplication skills. Educational Studies in Mathematics, 16 375-388.

“The research which my colleagues Dekker and Treffers and I performed during the late 1970’s concerned multiplication and division in column arithmetic. Among the things which struck us most was the observation that one of children’s most significant problems in column arithmetic is their insufficient memorisation of the basic skills. Why is it, was the question that arose, that some children easily learn the multiplication facts by heart, while for others it is a matter of extreme effort? ”

Ter Heege, 1985


A. Treffers (1987). Integrated column arithmetic according to progressive schematisation. Educational Studies in Mathematics, 18, 125-145. abstract

“In this article we shall first describe the characteristics of this new column arithmetic approach [wiskobas, b.w.] and thereafter the results of research concerning it. The various aspects will be set against the background of column arithmetic in traditional and current arithmetic education.”

Treffers 1987

Hier treedt Treffers dan naar buiten met zijn/wiskobas’ opvattingen over kolomrekenen.


Een tragische situatie is die in het speciaal onderwijs, waarvoor het Freudenthal-Instituut het kolomrekenen als einddoel verordonneert. Zie Marisca Milikowski en Rob Milikowski: Afscheid van het cijferen. In De gelukkige rekenklas 174-180. Voor een annotatie, zie hier. Voor het verwerven van enig inzicht in wat dat kolomrekenen dan inhoudt, is dit hoofdstuk buitengewoon geschikt. En onbedoeld hilarisch. Ik citeer een sleutelpassage. Het gaat hier om een rekendidactiek voor het speciaal onderwijs, waarvan de auteurs laten zien dat kolomrekenen als einddoel niet kan werken, noch bij methode Pluspunt, noch bij De wereld in getallen.

Dus wat wil de Projectgroep Speciaal Rekenen nu eigenlijk van ons? Om daar achter te komen is het nodig om bij het Freudenthal Instituut te Utrecht de map Optellen en aftrekken tot 100 en 1000 aan te schaffen. De prijs is € 64,95. Het katern ‘Kolomsgewijs rekenen’, waarin het didactische geheim bewaard wordt, telt inclusief kopieerbladen en andere bijlagen zo’ vijftig pagina’. De auteurs zijn Erica de Goeij en Jo Nelissen.

En wat is nu de oplossing? De oplossin g is dat kolomsgewijs rekenen wordt onderwezen als kolomloos rekenen. Dat wil zeggen: er wordt niets meer onder elkaar gezet. Optellen tot 1000 doen we voortaan zo:


Methode Projectgroep Speciaal Rekenen


357 + 346 =

300 + 300 = 600

50 + 40 = 90

7 + 6 = 13

600 + 90 + 13 = 703

Milikowski & Milikowski, p. 176-177

Aftrekken idem, met wat extra verwarring door eigen notaties voor negatieve getallen toe te staan. Werkt dit ook met grote getallen? Natuurlijk niet. Maar daar is een oplossing voor: de rekenmachine. Heeft het Freudnethal-Instituut een en ander behoorlijk onderzocht en geëvalueerd? Ben je gek, nee hoor. Hoewel . . . Milikowski en Milikowski hebben in een evaluatieverslag het volgende gevonden:

“Erica en Jo zijn de klas in geweest om te onderzoeken wat de mogelijkheden van kolomsgewijs rekenen zijn bij kinderen in het sbo. Er is uiteraard een verschil tussen kinderen die het cijferen al hebben gehad, en zij die het nog niet hebben gehad, maar wel een stevige getalsverkenning achter de rug hebben. Uit de onderzoekjes bleek dat de kinderen die al konden cijferen niet eenvoudig te bewegen waren om over te stappen op kolomsgewijs rekneen. De andere kinderen waren zeer bereidwillig en met name de ondersteuning van geld om inzichtelijke te maken wat er gebeurt bij het aftrekken met een tekort, werd goed opgepakt.”

Milikowski & Milikowski, p. 179, citeer het verslag van een evaluatiebijeenkomst Speciaal Rekenen gehouden op 26 mei 2004

Jo Nelissen heeft het niet op zich laten zitten, en in het Tijdschrift voor Orthopedagogiek (juli, sept. 2007) dit kolomrekenen uitgelegd. Naar aanleiding daarvan is er een email-wisseling geweest, die is te lezen op de site van de Rekencentrale. Lees die discussie.

E. de Goeij, N. Boswinkel & J. Nelissen (2007). Realistisch reken-wiskundeonderwijs in het sbo. Tijdschrift voor Orthopedagogiek. (1) en (2) [Van het tweede artikel is geen pdf beschikbaar op de website van het FI, 1 augustus 2011] [Het tijdschrift zelf is niet digitaal raadpleegbaar?]


Adri Treffers. De (on)navolgbare Freudenthal. In Freudenthal 100, p. 137. pdf

“Freudenthal’ reserve ten aanzien van algemene onderwijstheorieën als die van Gagné en Gal’perin is genoegzaam bekend. Toch heeft met name de onderwijstheorie van Gal’perin invloed op Wiskobas uitgeoefend bij de leergangontwikkeling van kolomsgewijs, cijferend rekenen (Van Bruggen, 1975 [intern IOWO]; De Jong, 1977 [De abakus; Uittenbogaard (2008) noemt het: De abacus; over cijferend optellen en aftrekken. leerplanpublikatie 6]).”

blz. 138 [Bruggen, J. C. van: Leren cijferen bekeken door een leerpsychologische bril, interne iowo-publikatie, utrecht 1975.] [Jong, R. de (red.) (1977). De abakus. Wiskobas-Bulletin, leerplanpublikatie 6.]


Kijk eens aan, eindelijk een concrete verwijzing naar de bron van een RR-idee.


  • F. Goffree, A. A. Hiddink & J. M. Dijkshoorn (1970). Rekenen en didactiek. Wolters-Noordhoff. vierde druk (eerste druk: 1966).


    Het boek geeft vele complete rekenlessen, en door kwekelingen te geven voorbeeldlessen. Interessant: de veertien hoofdrekentestjes, met de tijd waarbinnen die gedaan moeten worden (de auteurs hebben die tijden empirisch vastgesteld). 2.A.8. Hoofdrekentest Tijd: 8 min. 

    ƒ 105,00 - ƒ  12,30 =           88 +  97 =            14 x   999 =
ƒ 430,00 - ƒ 115,12 =          598 + 364 =             2 x 15899 =
ƒ 245,10 - ƒ  44,17 =           80 + 745 =            17 x   899 =
ƒ  33,95 - ƒ  24,80 =          395 + 447 =            11 x  9999 =
ƒ  17,35 - ƒ   0,88 =          888 + 513 =          12,5 x    99 =

  64 : 25   =          10.000 -  8 =             5 x  505 =
  78 : 1,25 =          50.000 -  3 =           135 x 1001 =
 399 : 1,5  =          15.000 - 27 =            87 x  101 =
 774 : 3,75 =           9.000 - 91 =            94 x 1001 =
8420 : 20   =          80.808 -  9 =    7 x 124  x 11 x 13 =

    Hoofdstuk 9 behandelt hoofdrekenen en cijferen. Het gedachtengoed van het realistisch rekenen kennend, is het verleidelijk om dit hoofdstuk te lezen als een voorloper daarvan, wat ‘handig’ rekenen en hoofdrekenen betreft. Maar het gaat de auteurs er hier toch om dat ll. inzicht krijgen in getallenrelaties en het hanteren ervan. Het cijferen gaat om de basale rekenvaardigheden volgens vastgelegde handelingsschema’s, doel is om de ll.langs inzichtelijke weg de algoritmen bij te brengen. “In het voorgaande hebben we duidelijk gesteld dat de ll. slechts op het hoogste hanteringsniveau mochten inoefenen.” Niks kolomrekenen, dus. Interessant: wie de staartdeling goed beheerst, kan nog tot verdere verkorting komen (blz. 175). Dat is nog eens andere koek.


    A. Treffers. Integrated column arithmetic according to prograssive schematisation. Educational Studies in Mathematics, 18, 125-145. abstract


    26 maart 2013 \ contact ben at at at benwilbrink.nl    

    Valid HTML 4.01!   http://www.benwilbrink.nl/projecten/kolomrekenen.htm