Rekenproject. Optellen (en aftrekken)

Ben Wilbrink

rekenproject thuis
rekendidactiek
    algoritmen
    getalbegrip
    basale rekenvaardigheden — ‘cijferen’
    optellen — aftrekken — vermenigvuldigen — delen — breuken — meten
    meetkunde — algebra en rekenen — kans
    materialen
    woordproblemen

Optellen lijkt het begin van alle rekenen, maar dat is niet zo. Het verwerven van een juist getalbegrip gaat er tenminste deels aan vooraf.

Waar het mij om gaat: empirisch onderzoek dat relevant is voor dit deel van het rekenonderwijs: optellen. Omdat in veel onderzoek optellen zowel als aftrekken aan de orde is, dus ook veel aftrekken op deze pagina, terwijl aan specifiek op aftrekken gericht onderzoek aan de orde is op .

Daarnaast is het van belang een goed overzicht te krijgen van wat er door diverse stakeholders over deze basale vaardigheden wordt gedacht en beweerd (zie Van Mulken, 1992, voor dat overzicht).

Michel Fayol & Catherine Thevenot (2012). The use of procedural knowledge in simple addition and subtraction problems. Cognition, 123, 392-403. abstract

Ineke Imbo & Jo-Anne LeFevre (2009). Cultural differences in complex addition: Efficient Chinese versus adaptive Belgians and Canadians. Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition, 35, 1465-1476. abstract en pdf

Valerie J. Henry & Richard S. Brown (2008). First-grade basic facts: An investigation into teaching and learning of an accelerated high-demand memorization standard. Journal for Research in Mathematics Educaion, 39, 153-183. abstract

Thomas P. Carpenter & James M. Moser: The acquisition of addition and subtraction concepts. In Richard Lesh & Marsha Landau (Eds.) (1983). Acquisition of Mathematics Concepts and Processes. Academic Press. 7-44.

• Thomas P. Carpenter & James M. Moser (1984). The acquisition of addition and subtraction concepts in grades one through three. Journal for Research in Mathematics Education, 15, 179-202. first page, zie ook dit artikel (1e blz)

Dit lijkt me een heel goed overzicht van de stand van zaken in het onderzoek anno 1983, inclusief de voorgaande ontwikkelingen. In de discussie geven de auteurs uitvoerig op welke gebieden het huidige onderzoek nog weinig tot niets heeft te vertellen. Ik maak een scan.

Arthur J. Baroody & Sirpa H. Tiilikainen (2003). Two perspectives on addition development. In Arthur J. Baroody & Ann Dowker (Eds.) (2003). The development of arithmetic concepts and skills (75-125). Erlbaum.

Karen C. Fuson & Birch H. Burghardt (2003). Multidigit addition and subtraction methods invented in small groups and teacher support of problem solving and reflection. In Arthur J. Baroody & Ann Dowker (Eds.) (2003). The development of arithmetic concepts and skills (267-304). Erlbaum.

Constructivistisch
• Gekritiseerd in hetzelfde boek door Geary

Richard Cowan (2003). Does it all add up? Changes in children’s knowledge of addition combinations, strategies, and principles. In Arthur J. Baroody & Ann Dowker (Eds.) (2003). The development of arithmetic concepts and skills (35-74). Erlbaum.

Richard Cowan, Chris Donlan, Donna-Lynn Shepherd, Rachel Cole-Fletcher, Matthew Saxton & Jane Hurry (2011 in press). Basic Calculation Proficiency and Mathematics Achievement in Elementary School Children. Journal of Educational Psychology. abstract, persbericht

• Zie ook BON blog 7886
• Onder elementair rekenen [basic calculation] verstaan de auteurs hier het optellen en aftrekken van getallen waarvan de som kleiner is dan 20. (p. 1).
• De auteurs onderscheiden drie visies op dit elementair rekenen.
  1. In de traditionele visie bestaat vaardigheid uit het opgeslagen hebben van de uitkomsten van deze elementaire berekeningen in het langetermijngeheugen zodat ze makkelijk zijn op te halen. Voorstanders claimen dat vaardigheid [proficiency] ontwikkelt door stampwerk [rote memorization] en oefening. Dat mag dan volgens Cowan c.s. een bestaande opvatting onder leerkrachten [educators] zijn, maar namen noemen ze hier niet. Dan is dit een stroman-visie. Cowan c.s. hadden hier kunnen wijzen op het Amerikaanse rekenonderwijs, dat op veel plaatsen zo beroerd is dat het wel iets weg heeft van deze traditionele visie (de TIMSS video-studie laat dit letterlijk zien: weinig of geen uitleg, leerlingen maken zelfstandig hun sommetjes; dat doen ze in Japan bijv. toch anders: klassikaal onderwijs, veel uitleg door zowel leraar als leerlingen)
  2. In de VS en het VK vinden leerkrachten in het basisonderwijs die onthouden oplossingen nog steeds van belang voor vlot kunnen rekenen, maar is op weg naar dat gememoriseerd hebben, het begrijpen van de stof wel van belang. Hier wel twee verwijzingen [Askew, 1998; Reys, Suydam, Lindquist, & Smith, 1998. ]. Baroody (2006) noemt die de ‘gebruikelijke opvatting’ [conventional wisdom], Cowan c,s, nemen dat over.

     [vertaald:]
     [Baroody] merkt op dat het gaat om drie onderscheiden ontwikkelingsfasen. Eerst doen ze de elementaire rekenopgaven door te tellen en met de vingers. In de tweede fase gebruiken ze rekenkundige principes en kennis van andere combinaties, zoals het berekenen van 12 – 6 door gebruik te maken van het inzicht dat aftrekken het omgekeerde is van optellen en kennis van het relevante optelfeit dat 6 + 6 = 12. De verzameling van strategieën genaamd ontleding [decomposition] zijn berekeningen waarbij principes, verwante feiten of het ontleden van getallen in samenstellende delen een rol spelen. Tenslotte is het kind in staat het antwoord gewoon op te halen ( . . . ).

     De verwijzing naar Askew, en naar Reys c.s. Het eerste, evenals het tweede,is een boek voor leerkrachten, dus geen primaire onderzoekbron. Vergeet het. Cowan c.s. noemen dit kennelijk als voorbeelden van de opvatting. Ik vind dat wel irritant, moet ik zeggen. Beter zou zijn geweest wanneer Cowan c.s. gewoon hadden opgeschreven dat het gaat om opvattingen van enkele tekstboekschrijvers., maar dan nog: wat moet de lezer met deze informatie? Cowan c.s. richten hier een pseudo-classificatie op. Nee, dan is beter om alleen te weten dat The English National Curriculum deze gebruikelijke opvatting volgt. Zie de tekst van Cowan c.s.

     Since the introduction of the National Curriculum, England has made the greatest advance in math achievement by fourth grade pupils of any country sampled by the Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS; Mullis, Martin, & Foy, 2009). [fourth grade in Engeland: groep vier, als ik het goed begrijp]

  3. De derde visie schrijven de auteurs hier toe aan Baroody (2006), maar dat lijkt me knap willekeurig. De kern van deze visie is dat de leerling de stof moet begrijpen. We kennen dat in Nederland van het realistisch rekenen. Ik vind het op voorhand grote onzin. Alsof je alleen goed kunt autorijden door voortdurend te begrijpen waar je mee bezig bent. Ik geloof dan ook niet dat Baroody zo simpel is. Cowan c.s. verwijzen hier ook naar Baroody (1999), dat is een onderzoekartikel in Cognition and Instruction, en dat moet toch wel serieuze stof zijn. Ik begin dan ook te vermoeden dat Baroody een aanscherping geeft van de gebruikelijke opvatting, en niet iets dat daar tegenover kan worden geplaatst, wat Cowan c.s. hier lijken te doen. Ik ben benieuwd.
• A. J. Baroody (1999). Children’s relational knowledge of addition and subtraction. Cognition and Instruction, 17, 137–175. abstract [Baroody werkt samen met Lieven Verschaffel, zie ook hierbeneden.]
• A. J. Baroody (2006). Why children have difficulty mastering the basic number combinations and how to help them. Teaching Children Mathematics, 13, 22-31. [niet gezien, tijdschrift is mogelijk in Nederland niet aanwezig. Dit lijkt me evenwel een populariserend artikel, dus ik ga hier niet verder achteraan.]
• Dit is nog maar het begin van het theoretisch kader, maar ik ben hevig teleurgesteld dat dit stukje broddelwerk is geaccpeteerd door de redactie van het JEP.
• Arthur J. Baroody, Joke Torbeyns & Lieven Verschaffel (2009). Young Children’s Understanding and Application of Subtraction-Related Principles. Mathematical Thinking and Learning, 11, 209. [Zie aftrekken.htm

Hilary Barth, Kristen La Mont, Jennifer Lipton, Stanislas Dehaene, Nancy Kanwisher, Elizabeth Spelke (2006). Non-symbolic arithmetic in adults and young children. Cognition, 98, 199-222. abstract

Joke Torbeyns, Lieven Verschaffel & Pol Ghesquière (2006). The development of children’s adaptive expertise in the number domain 20 to 100. Cognition and Instruction, 24, 439-465. abstract

Bert De Smedt, Joke Torbeyns, Nick Stassens, Pol Ghesquière & Lieven Verschaffel (2010). Frequency, efficiency and flexibility of indirect addition in two learning environments. Learning and Instruction, 20, 205-215. abstract

Joke Torbeyns & Lieven Verschaffel (ORD 2011). Cijferen of hoofdrekenen? Strategiekeuzen van Vlaamse leerlingen bij het optellen en aftrekken tot 1000. Een samenvatting is opgenomen in het congresboek, p. 124-125: www.ord2011.nl= pdf (bijna 600 blz!)

Het is een onderzoekje van niks, als je kijkt naar de omvang ervan (een handvol leerlingen, een handvol opgaven), maar het was genoeg om tot verrassende resultaten te kunnen leiden, en verrassenderwijs deed het dat ook. De resultaten gaan in tegen de rekenromentiek van de Freudenthal-groep en verwante vernieuwers. Een inspiratie voor meer empirisch toetsend onderzoek op de lievelingsideeën van het realistisch rekenen. Let op: het gaat hier om Vlaamse leerlingen, niet onderworpen aan de realistische overkill van handig rekenen en hoofdrekenen. Maar ja, het MORE-onderzoek (Gravemeijer en anderen) heeft laten zien dat de Vlaamse resultaten bij een Nederlandse leerlinggroep wel eens versterkt terug zouden kunnen komen. Ik ben benieuwd.

Catherine Sophian (2007). The origins of mathematical knowledge in childhood. Lawrence Erlbaum.

Chapter 5: Relations among quantities in arithmetic: Additive and multiplicative reasoning. pp. 84-105.

Frans van Mulken (1992). Hoofdrekenen en strategisch handelen. Het gevarieerd gebruik van twee grondvormen van optellen en aftrekken tot honderd. Proefschrift Universiteit Leiden. promotieonderzoek.htm