Rekenproject: Wiskundig denken

Ben Wilbrink

rekenproject thuis
psychologie
    wiskundig denken
        human activity: wiskunde als menselijke activiteit
        abstraheren
        model opstellen



De aanleiding voor de keuze van dit thema is natuurlijk het idee van Hans Freudenthal dat al op de basisschool het rekenonderwijs onderwijs in wiskundig denken zou moeten zijn, of misschien nog korter: wiskundig omgaan met de wereld zou moeten zijn. Dan moet er bij HF dus een consistent idee zijn over wat dat ‘wiskundig denken’ dan is.


Elders is er natuurlijk ook wel eens nagedacht over wat ‘wiskundig denken’ is, en is er mogelijk onderzoek gedaan of dat wiskundig denken zich laat onderscheiden van anders denken. Afijn, het lijkt me een rijk thema.

Een belangrijke groep onderzoekers verstaat onder wiskundig denken of wiskundig redeneren het denken of redeneren met hoeveelheden etcetera zoals kinderen dat van nature doen, dis zonder dat zij daar al in zijn onderwezen. (zie hierbeneden)


Wiskundig denken is als thema onderscheiden van wat het is om wiskunde te begrijpen: zie begrijpen.htm. Dat gaat vooral over de ideeën van didactici zoals Freudenthal over nut en noodzaak van begrijpen van de aangeboden wiskunde. En van wat wiskunde is: zie bijvoorbeeld Beth (1948), Wijsbegeerte der wiskunde. Vergeet ik nog iets? Ja, ‘wiskunde’ staat vaak voor het corpus: de wiskundige resultaten, de wiskundige literatuur. Het is toch wel handig om deze zaken goed te onderscheiden. Dat goed onderscheiden is toch al een voorwaarde voor zindelijk handelen in didactiek en beoordeling, zie wat er zoal komt kijken bij het borgen van validiteit van toetsvragen (rekenen of wiskunde, bijvoorbeeld): hier.


Ik ben natuurlijk al jaren geleden begonnen met uit te kijken naar literatuur over wat het is om wiskundig te denken, zoals Beth & Piaget (1966), en wat het is om wiskunde te leren of te onderwijzen: matheducation.htm en matheducation.dutch.htm



Studies in Mathematical Thinking and Learning Series. Psychology Press. published titles.


Michael J. Ford & Ellice A. Forman (2006). Redefining disciplinary learning in classroom contexts. Review of Research in Education, 30 ch. 1, 1-32.

“Another concern that motivates our examination of disciplinary practices is the frequent assertion by educational reformers that students should be engaged in the activities of historians, mathematicians, scientists, or literary analysts rather than just learning about the results of those practices. This trend can be seen in many fields , including mathematics (National Council of Teachers of Mathematics, 2000) and science (National Research Council, 1996) education. Although this mandate to incorporate disciplinary practices into classroom instruction has become a standard rhetorical move in journal articles and policy documents, it is rarely elaborated or adequately supported by evidence about those practices. In addition, there has been little explicit attention given to the fundamental aspects of a discipline that students should experience. To adequately design instruction or assessment to include aspects of authentic scientific practice, we need to justify the disciplinary practices that should be represented in classrooms and clarify how to implement those practices in our long-term en short-term learning objectives.”


Amy B. Ellis (2007). The influence of reasoning with emergent quantities on students' generalizations. Cognition and Instruction, 25, 439-478.


Jacob Feldman (2004). How surprising is a simple pattern? Quantifying ‘Eureka!’ Cognition, 93, 199-124. abstract

Ik heb dit nog niet grondig bestudeerd. Het belang dat ik er in denk te zien is het volgende. Het zou zomaar kunnen zijn dat de patronen die in reform-gebaseerd rekenonderwijs figureren om er ‘wiskundig’ mee te ‘denken’, mogelijk ook wel eens patronen zijn die in feite niet van random patronen zijn te onderscheiden. Feldman beweert dat op dit thema geen eerdere publicaties zijn verschenen, althans voorzover hij weet. Ik ben benieuwd naar het antwoord, maar dat Feldman hier niet geven: hij kijkt niet specifiek naar patronen die in rekenonderwijs wel worden gebruikt.

Even verder lezend, blijkt dat het hier om heel fundamentele kwesties gaat rond het leren van begrippen of categorieën aan de hand van reeksen voorbeelden.


Jamie I. D. Campbell (Ed.) (2004). The Handbook of Mathematical Cognition. Psychology Press. contents, reviewed by Sriraman


Schoenfeld, Alan H. (Ed.) (1987). Cognitive science and mathematics education. Lawrence Erlbaum. XIX 4-43 (POW) ISBN 0-8058-0057-3. Snellius: boek is zoek.


Robert B. Davis (1984). Learning Mathematics: Yhe Cognitive Science Approach to Mathematics Education. Croom Helm.


Herbert P. Ginsberg (Ed.) (1983). The developent of mathematical thinking. Academic Press.


McCrink, K. & Wynn, K. (2008) Mathematical Reasoning.  In Encyclopedia of Infant and Early Childhood Development. Ed. M. Haith & J. Benson. Vol 2. pp. 280-289. pdf download

Wat deze auteurs, behorend tot een toonaagevende groep onderzoekers waaronder Spelke en DeHaene, bedoelen met wiskundig denken is het denken dat kinderen van nature doen. Het onverwachte hiervan is dat dit onderzoek impliceert dat al zonder rekenonderwijs te hebben gehad, kinderen wiskundig denken. Je zou dus kunnen stellen dat Hans Freudenthal de jonge leerlingen iets wil laten leren dat zij van nature al hebben. Ha, nee, zegt de Freudenthal-groep: realistisch rekenen sluit juist aan bij wat kinderen zelf al kunnen of spontaan kunnen ontdekken. Kijk, en zo kletsen we dus alles aan elkaar, of de theorie onderling tegenstrijdige uitspraken bevat, is niet van belang. Gelukkig zijn er veel onderzoekers die hun wetenschap serieus nemen, en bij tegenstrijdigheden en dubbelzinnigheden experimenten ontwerpen ontwerpen die de gordiaanse knoopjes kunnen ontwarren.



Stanislas Dehaene (1997). The Number Sense. How the Mind Creates Mathematics. Oxford University Press.


Elizabeth S. Spelke (2000). Core knowledge. American Psychologist, 55, 1233—1243. (award address, Award for Distinguished Scientific Contributions shtml)

“My story begins with two core knowledge systems found in human infants and in nonhuman primates: a system for representing objects and their persistence through time and a system for representing approximate numerosities. Then I ask how young children may build on these two systems to learn verbal counting and to construct the first natural number concepts. Finally, I consider how the same systems may contribute to mathematical thinking in adults.”

Spelke 2000


Anna Sfard and Irit Lavie (2005). Why cannot children see as the same what grownups cannot see as different? — early numerical thinking revisited. Cognition and Instruction, 23, 237-309. pdf

Sfard, A. (2008). Thinking as communicating: Human development, the growth of discourses, and mathematizing. Cambridge, UK: Cambridge University Press here.

Leone Burton (2004). Mathematicians as Enquirers: Learning about Learning Mathematics. Kluwer.

Anna Sfard (2008).Thinking as communicating: Human development, the growth of discourses, and mathematizing.. Cambridge University Press site.

R. J. Sternberg and T. Ben-Zeev (Eds) (1996). The nature of mathematical thinking (pp. 55-80). Erlbaum.

Kaput (1979). Mathematics and learning: Roots of epistemological status. In J. Lockhead and J. Clement, Cognitive process instruction (pp. 289-303). Philadelphia: Franklin Institute Press.

“The basic, irreducible and essential metaphoric nature of human thinking has only an accidental, unacknowledged, and denigrated role in mathematics.”

Kaput [uitgebreidere annotatie in matheducation.htm]

Jean Lave (1988). Cognition in practice. Mind, mathematics and culture in everyday life. Cambridge University Press.

Gerald Kulm (Ed.) (1990). Assessing Higher Order Thinking in Mathematics. American Association for the Advancement of Science. questia

Alan H. Schoenfeld (Ed.) (1994). Mathematical thinking and problem solving. Erlbaum. questia

C. R. Gallistel and Rochel Gelman (2005). Mathematical cognition. In K Holyoak & R. Morrison (Eds). The Cambridge handbook of thinking and reasoning. Cambridge University Press (pp 559-588) pdf

Evert W. Beth (1948). Wijsbegeerte der wiskunde. Philosophische Bibliotheek. Boek VI: De psychologische beschouwing van het wiskundig denken. (304-324). Oh, mijn boek is nog niet opengesneden . . . . Beth begint met de wiskundige significa (Brouwer, Van Eeden, Van Ginniken, Mannoury, Van Dantzig). En daarmee hebben we meteen al het gedonder in de glazen: wiskundig denken is geen simpele aangelegenheid. Niet echt iets voor het basisonderwijs, zou je kunnen vermoeden.


Of is wiskundig denken = critical thinking?



Philip C. Abrami, Robert M. Bernard, Evgueni Borokhovski, Anne Wade, Michael A. Surkes, Rana Tamim & Dai Zhang (2008). Instructional interventions affecting critical thinking skills and dispositions: A stage 1 meta-analysis. Review of Educational Research, 78, 11-2-1134. abstract


15 mei 2012 \ contact ben at at at benwilbrink.nl    

Valid HTML 4.01!   http://www.benwilbrink.nl/projecten/wiskundig_denken.htm