Rekenproject: Historisch — rekenopgaven

Voorbericht

Deze voorlooper heeft tot doel een schakel te vormen tusschen de rekenboeken voor de Lagere School aan de eene zijde en aan de andere zijde mijn veelgebruikte Rekenboeken voor de H. B. S. en voor het M. U. L. O. Het blijkt, gezien de vele vragen, die men omtrent een en ander tot mij richtte, dat de onderwijzers, die opleiden voor de H. B. S. gaarne een slotstukje hebben met geschikte oefenstof en dat men bij het M. U. L. O. liever niet direct het Rekenboek voor M. U. L. O. neemt, maar eerst eens terdege alles wil herhalen.

Dit boekje bevat naar mijn meening precies, hetgeen men wenscht. Een groot deel van de opgaven is er overgenomen van de toelatingsxamens van verschillende H. B. S. en Gymnasia in 1921—1923, zoodat dit boekje als krahtmeter voor deze examens kan dienen.

De stof heb ik gerangschikt naar de meest voorkomende soorten van vraagstukken; de onderwijzer kan nu een bepaald onderwerp terdege behandelen en hij heeft voldoende oefenstof ter beschikking.

Gaarne zal alle mogelijke op- en aanmerkingen van gebruikers vernemen.                     P. WIJDENES.

Hoofdbewerkingen

• 1. Hoeveel cijfers zijn er noodig om alle getallen van 1 tot en met 457 op te schrijven?

Deelbaarheid

• 2. Hoeveel is 54a24 + 7225b, als a zoowel als b één cijfer voorstelt en het eerste getal door 9 en het tweede door 8 deelbaar is?

Percentrekening

• 3. Iemand verkoopt een partij waren met 25% winst. Bij verzending bederft 25% van de partij. Voor wat bedorven is krijgt hij geen betaling. Hoeveel % wint of verliest hij nu aan de partij?

Koop en verkoop

• 4. Iemand koopt appels voor 2 gulden de honderd. Hij verkoopt ze tegen 3 cent het stuk, maar geeft op elke tien appels één appel toe. Hoeveel percent van zijn ontvangst wint hij? (Stel de partij 1100 appels)

Voorloopge onderstelling

• 5. Iemand heeft twee kapitalen samen groot ƒ 16000. Het eerste levert hem 7% winst op en op het tweede verliest hij 3 ²/₅ %. Hij wint in het geheel ƒ600. Hoeveel bedragen de kapitalen?

Terugwerken

• 6. Het verschil tusschen teller en noemer van een breuk is 5. Deelt men den noemer door 2 en telt men daarna bij den teller 34 op, dan krijgt men 6 maal de oorspronkelijke breuk. Welke breuk is dit?

Samen werken

• 7. A arbeidde eerst 7 dagen, toen B 12 dagen aan een werk, en daarna maakten zij samen de rest of ¹/₄ deel van het werk in 3 dagen af. Welk deel van het werk deed ieder per dag?

Mengen

• 8. Een winkelier mengt onder elkaar 60 KG à 59 cent, 72 KG à 61 cent, en 72 KG à 89 cent; als hij het mengsel met minstens 10% winst wil verkoopen, voor hoeveel cent moet het KG dan minstens verkocht worden?

Inhalen en ontmoeten

• 9. Een sneltrein uit Amstedam en een goederentrein uit Den Haag ontmoeten elkaar steeds iederen dag voor het station Hillegom; de eerste doet 48 KM per uur en de laatste 30 KM. Op een keer was de eerste 4 min. te laat en de tweede 9 min.; op hoeveel M afstand van Hillegom en aan welke zijde ontmoetten ze elkaar toen?

Verhoudingen

• 10. Twee wielrijders gaan elkaar tegemoet. Om 7 uur zijn ze nog 10 KM van elkaar verwijderd en om kwart voor acht zijn ze elkaar reeds 8 KM voorbij. Hoe laat hadden zij elkaar ontmoet?

Som of verschil constant

• 11. Welk zelfde getal moet men bij teller en noemer van ¹¹/₂₆ optellen, opdat de breuk gelijk wordt aan ⁴/₇?

Oppervlakken

• 1. Een vloer is 7 M lang en 5 M breed. Een kleed ligt overal 5 dM van den wand. Beeken de oppervlakte van het onbedekte deel van den vloer.

Slooten

• 3. Van een stuk land verhoudt zich de lengte tot de breedte als 9 : 4; een weg, evenwijzig aan de kleinste zijde is 18 M breed en een andere weg, evenwijdig aan de lengte is 8 M breed. De omtrek van elk der vier gelijke overblijvende stukken land is 156 M. Hoe lang en hoe breed was dat land?

Inhouden

• 14. Een balk, waarvan het soortelijk gewicht 0,657 is, weegt 906,66 KG. Hoe groot is de oppervlakte van dien balk, als hij 6 M lang en 46 cM breed is?

Tijdrekening

• 5. Het ochtendblad van het ‘Handelsblad’ droeg op Vrijdag 22 Febr. 1924 het nummer 31235; welk ummer had het avondblad van 15 april 1924? ’s Zondags komt er enkel een ochtendblad en Maandags is er geen. Tusschen deze data was er geen feestdag.

Metriek stelsel

• 16.   7,12 Stère  = . . . . . . dM³

    64,38 DL     = . . . . . . dM³

     3373 cM³    = . . . . . . dM³

      0,84 DM³   = . . . . . . dM³

                  ————

          Samen . . . . . . dM³

Tiendeelige breuken

• 2.     16,015625 × 0,025625 × 34,304 : 268

                2,5 × 0,01681

Gewone breuken

Cijferoefeningen

• 3. Als per dollar gerekend wordt ƒ2,69³/₄, hoeveel ontvangt men dan voor 4429,50 dollar?
• 98. Uit tien waarnemingen heeft men gevonden:

  766,433; 765,919; 765,892; 766,031; 765,992; 766,005; 766,012; 766,320; 765,980; 766,225; wat moet men als het gemiddelde van één waarneming aannemen? Hoeveel afwijking vertoonen de grootste en kleinste waarde uit de tien gegeven?

Herhaling

• 1. A legt zekeren weg af in ²/₃ en B in ³/₄ uur. Als A per uur 650 M meer aflegt dan B, hoeveel KM legt B dan per uur af?
• 14. De som van teller en noemer van een breuk is 38. Telt men bij den teller 68 op en vermenigvuldigt men den noemer met 5, dan verandert de waarde van de breuk niet. Welke is die breuk?

De opgaven in dit boekje zijn methodisch gerangschikt en ontleend aan of bewerkt naar de vraagstukken, die in de laatste jaren in verschillende deelen van ons land bij de toelatings-examens voor Hooegre Burgerscholen en Gymnasia zijn opgegeven. (..)

Dit supplement is een afgesloten geheel en kan als repetitie-boek voor het zelfstandig rekenen bij elke methode worden gebruikt. Het is evenwel niet nodig met de repetitie te wachten, tot de leerstof in zijn geheel is afgehandeld. Aan de leerlingen, die werken in Hoeveel en Waarom, kan men het b.v. reeds in handen geven, als een paar paragrafen van het Zesde deeltje zijn behandeld. (..)

Daar de eischen, die men bij de toelating op verschillende scholen stelt, zeer uiteenloopen, zullen sommige onderwijzers het onnoodig achten, het geheele boekje te laten doorwerken, terwijl anderen uit een of ander stel examenwerk allicht een vraagstuk kunnen opdiepen, moeilijker dan de door mij opgenomene. (..)

Op grond van een jarenlange ervaring meen ik te mogen verzekeren, dat een leerling, die dit boekje flink heeft doorgewerkt, voldoende voorbereid is voor het onderwijs in de wiskunde, en dat hij op een toelatings-examen voor het schriftelijk rekenen geen slecht figuur zal maken.

1. Als men een getal achtereenvolgens door 12, 15 en
   20 deelt, is de som der quotienten 24 meer dan 1/7
   van dat getal. Welk getal wordt bedoeld?
2. Bij een getal voegt men het vierde deel van dat
   getal ; van deze som neemt men het vierde deel, en
   krijgt nu 5 1/4 minder dan de helft van het oorspron-
   kelijke getal. Welk getal is dat?
3. Van twee getallen, die tot elkaar staan als 2 tot 5,
   is het achtste deel van het grootste 7½ meer dan het
   vierde deel van het kleinste. Welke zijn die getallen?
4. Twee getallen verhouden zich als 2½ en 11. Het vijf-
   voud van het kleinste is 556¼ meer dan het achtste
   deel van grootste.
   Wat is het product van die getallen?
5. Van een getal neemt men het vierde deel en 15 af ;
   van de rest neemt men 10 minder af dan het derde
   deel van die rest. Men houdt 64 over.
   Bereken het oorspronkelijke getal.
6. De som van twee getallen is 236. Deelt men het
   kleinste door ¾ en vermenigvuldigt men het grootste
   met 1 1/8, dan krijgt men gelijke uitkomsten.
   Bereken die twee getallen.
7. De inhoud van een schip is:
   
   2/3 × (5/12 + 1,75)
   ————————————— DM³
   10 1/9 : 1 9/19 - 5/6 × 1 11/15
   
   Hoeveel hektoliter is dat?
8. Iemand koopt 600 M laken tegen f 4,50 den meter.
   Hij verkoopt een gedeelte à f 6 en de rest à f 5,20
   den meter, waardoor hij f 540 wint.
   Hoeveel meter heeft hij à f 5,20 verkocht?
9. A, B en C bezitten elk een zekere som geld. Als A
   25 % van zijn geld aan C geeft en B 20% van zijn
   geld aan C, hebben ze alle drie evenveel. Welk deel
   bedroeg de som, die B oorspronkelijk had, van die
   van A?
10. Het getal 143a7a2, waarin de letters a en a gelijke
    cijfers voorstellen, is deelbaar door 4 en door 9.
    Welke cijfers zijn door die letters voorgesteld?

    par. 22 NB: in het origineel zijn de breuken alle genoteerd met een horizontaal streepje

d. hoofdrekenen

Achter de volgende opgaven moesten de antwoorden zonder berekeningen op papier ingevuld worden:

               7 × 99 =
              6 × 375 =
            4848 : 12 =
            4256 : 14 =
            6006 : 12 =
           8 × 12,125 =
14 2/7% van Fl.212,10 = 
          9432 – 7432 =
           3007 + 870 =
  20 % van Fl. 120,25 =
          143,39 : 13 =
       8 × 3 × 12 1/2 =
          448 : 0,112 =
         25 × 18 × 12 =
           63 : 7 × 3 =
         97 + 61 + 39 =
            8008 – 88 =
           1,818 + 18 =
        2 2/7 × 5 × 7 =
      75,375 : 37 1/2 =

We menen hier een beroep te doen op parate kennis, die langs de weg van het inzicht is verkregen. Dat hij of zij, die op de lagere school het vak rekenen moet gaan onderwijzen, deze stof voldoende moet beheersen is duidelijk.
In de toelichting bij het betreffende programma voor het kweekschoolexamen wordt “vaardigheid in het hoofdrekenen” met name genoemd.

[Voor het onderdeel hoofdrekenen mochten 10 minuten worden gebruikt, de resterende 40 minuten konden door de deelnemers over de andere vakken verdeeld worden.]

[ . . . met toestemming overgenomen uit het lagere-schooleindexamen, dat in 1955 in Eindhoven werd gehouden onder leiding van de heer H. J. Carpay, nu inspecteur van het Kweekschoolonderwijs. Aan dit examen namen alle zesde-klassers van de Rooms-Katholieke lagere jongensscholen in Eindhoven deel. Aantal kandidaten 1055. Wij maakten van deze opgaven gebruik, omdat de in Eindhoven behaalde resultaten aantoonden, dat deze proeven op het niveau van de zesde klas van de lagere school lagen.]

Basisschoolleraren in opleiding blijken in nood te komen als ze niet in staat zijn de ‘eenvoudige’ rekenopgaven van de basisschool te maken. Voor PABO-studenten van deze tijd ligt de problematiek moeilijker dan voor vele van hun voorgangers. Zij hebben namelijk voor een groot deel mechanistisch ingericht rekenonderwijs ontvangen terwijl ze met grote waarschijnlijkheid worden geplaatst voor opgaven uit reken-wiskundeboekjes van realistische signatuur.

Dit boek is ontworpen om PABO-studenten te helpen door zelfstudie zich het nieuwe rekenen eigen te maken. Wat dat preceis is, kan men weerspiegeld zien in de Reflektieve oplossingen, die aan de opgaven zijn toegevoegd.

De kerngedachte achter dit boek is dat functionele rekenvaardigheid verworven wordt in een ‘natuurlijke omgeving’ en dat dit hoofdzakelijk geschiedt op basis van ‘gezond verstand’. Zorgvuldig geselecteerde opgaven uit de nieuwe reken-wiskundeboekjes, aangevuld met probleemsituaties uit onze dagelijkse omgeving, vormen een inspirerende leeromgeving voor eerstejaarsstudenten.

Dit boek moet beschouwd worden als een ‘voorloper’ in de serie Wiskunde & Didactiek. Ook bij het doorwerken van de drie volgende delen wordt rekenvaardigheid, maar nu in een didactisch perspectief, ge- en beoefend.

flaptekst van de drie auteurs.