Rekenproject: Rekenonderwijs: ontwikkelingen

Ben Wilbrink


rekendidactiek
    ontwikkelingen in het rekenonderwijs
        historisch: rekendidactiekhistorisch: rekenopgaven
        van HieleFreudenthalTreffers




De ontwikkelingen zijn vooral die na de oorlog, maar eerdere ontwikkelingen zal ik niet uit de weg gaan. Het belang van een overzicht van de belangrijke ontwikkelingen in het rekenonderwijs is om latere uitspraken over de kwaliteiten van eerder rekenonderwijs meteen te kunnen plaatsen. Zoals daar zijn: het verwijt dat het rekenonderwijs in de zestiger jaren en eerder, vooral mechanistisch zou zijn. Of de uitspraak dat er op didactisch gebied weinig tot niets gebeurd zou zijn tot Wiskobas het didactische roer overnam.

Ik ben bang dat de schets van naoorlogse ontwikkelingen niet zo simplistisch zal zijn als het schema van Adri Treffers (de vier soorten rekendidactiek) aangeeft. Het maakt nogal verschil of het gaat over rekenmethoden (de rekenboekjes), de kennis van de onderwijzers (zoals hen meegegeven door de kweekscholen), de aard van de leerlingenpopulatie (klassen en standen, verschillen in opvoedingsdoelen voor jongens en meisjes), en — last but not least — de actuele lespraktijk. Over die actuele lespraktijk is mogelijk veel te weinig bekend, en dan moeten we terugvallen op onderzoek naar resultaten van het onderwijs om vandaaruit te kunnen concluderen over verschillen in de kwaliteit va het feitelijk gegeven rekenonderwijs, en hoe die mogelijk amenhangen met verschillen in methoden, opleiding van onderwijzers, en feitelijk didactisch handelen in de klassen.


1958


L. N. H. Bunt (Red.) (1958). The teaching of arithmtic and mathematics to students between 6 and 15 years of age in the Netherlands. Subcommittee for the Netherlands of the International Commission on Mathematics Instruction. J. B. Wolters

The selection of pupils for the secondary schools of the grammar school type constitutes a problem which deserves specific consideration in connection with the teaching of arithmetic and mathematics. This matter is treated in chapter IX.

p. 2

[Ik vertaal even vlug, uit het eerste hoofdstuk, auteur J. D. Brinksma]


8. Aantal lessen.


( . . . )

. . . In de meese gevallen krijgen de lagere klassen [1 en 2, b.w.] 30 minuten, de hogere 45 minuten rekenles per dag.

Deze rekenlessen worden gewoonlijk vroeg in de morgen gegeven.


9. Syllabus.

Het doel van het het rekenonderwijs, in de aanwijzingen van de Inspectie: “Teaching the pupils to attain command of quantitative relations in situations in which practical life may put them”.De diverse rekenmethoden gebruiken vergelijkbare zinsneden in het voorwoord. De praktische waarde van het rekenonderwijs wordt dus meer en meer benadrukt. De overtuiging groeit dat het rekenen, zoals dat in het dagelijks leven nodig is, heel goed kan dienen om het logisch denken te ontwikkelen en dat de ouderwetse redactiesommen [problem sums] overbodig zijn.

In de meeste rekenmethoden hebben praktische opgaven in iedere klas een belangrijke plaats. Zulke opgaven krijgen dan vaak korte tekstjes zoals:

      1 appel kost 3 cent.

      Aantal appels 5 — 7 — 9.

      Prijs . . . . c, . . . . c, . . . . c.

In de eerste klas krijgen de leerlingen de reeks gehele getallen en leren ze hoeveelheden te tellen en groeperen. Diverse rekenspelletjes, rekenverhalen, rekenkaarten en rekenplaatjes vormen in dit stadium de inleiding tot het elementaire rekenen.

Systematisch gerangschikt omvat dit voorbereidend rekenen:


  1. het gebruik van uitdrukkingen zoals ‘meer’, ‘minder’, ‘evenveel als’, ‘een paar keer’,
  2. het vergelijken van hoeveelheden: ‘evenveel stoelen als er kinderen zijn’,
  3. het kwantitatief beschrijven van zulke verbanden: ‘er zijn vier kinderen, dus zijn er vier stoelen nodig’,
  4. tellen
  5. zien dat hoeveelheden zich laten vergelijken en groeperen door te tellen
  6. het gebruik van het getalsymbool als een abstracte schrijwijze voor een hoeveelheid
  7. op een heel eenvoudig niveau inzicht in de getallenreeks, zoals: ‘8 is meer dan 6’, of: ‘om 64 te krijgen moet je heel lang doortellen’.

Dit voorbereidend rekenen is een integraal onderdeel van het onderwijs, in het bijzonder wanneer er projectmatig wordt gewerkt. In dit stadium worden er nog niet veel sommen gemaakt; dat wordt uitgesteld tot later, wanneer de leerlingen meer vertrouwd zijn met de abstracte schrijfwijze van hoeveelheden en met het gebruik van cijfers en rekenkundige symbolen.

Naast dit voorbereidende rekenen worden in de eerste klas gewoonlijk optellen en aftrekken van de aantallen 1 tot 20 behandeld en door veel oefenen geautomatiseerd. Voor dit doel zijn soms opteltabellen in gebruik.

Aan het eind van dit jaar kennen de leerlingen

  1. de basisbewerkingen met de aantallen tot 20;
  2. de reeks gehele getallen tot 100;
  3. tijdsbegrippen, zoals: ‘een week heeft 7 dagen’, ‘een uur heeft 60 minuten’; geldbegrippen, zoals: ‘een gulden is 100 cent’, ‘een kwartje is 25 cent’;
  4. meetbegrippen, zoals: ‘meter’, ‘liter’, ‘kilogram’.


De woordenschat blijft van groot belang. In situaties waarin het meten een rol speelt, bijvoorbeeld, maken de leerlingen kennis met begrippen zoals ‘langer’ en ‘korter’; in verband met wegen, begrippen als ‘zwaarder’ en ‘lichter’; tijdsaanduidingen, zoals ‘morgen’, en ‘overmorgen’ worden gebruikt, en verder ook nog de ranggetallen [ordinal numbers].

Aan het eind van het jaar kunnen de meeste kinderen zonder hulp de eenvoudige sommen uit het boek maken.

In de tweede klas worden alle mogelijke gevallen van optellen en aftrekken met de aantallen tot en met 100 behandeld. De meeste methoden behandelen in dit jaar sommen van de volgende aard: 30 + 6, 50 + 19, 62 + 7, 52 + 33, 38 + 9, 54 - 9, 58 + 39, 64 - 39. De tafels van vermenigvuldiging worden onderwezen, en het verdelen van een hoeveelheid in gelijke delen wordt behandeld.

Eenvoudige sommen over geld tot een bedrag kleiner dan 1 gulden hebben een belangrijke plaats; in een aantal methoden wordt op dit niveau de decimale plaats behandeld.

Van het metrieke stelsel worden decimeters, centimeters en millimeters behandeld.

Kloklezen wordt systematisch geoefend.

In de derde klas komen de aantallen tot 1000 aan de orde, en daarna, aan het eind van het jaar, de grotere aantallen. Het tellen aan de hand van gelijke groepen wordt geoefend.

Wanneer dan op deze manier inzicht is verkregen in het getalsysteem, dan worden de vier basisalgoritmen [fundamental operations] onderwezen. Rekenen met getallen [numerical calculation; bbedoelt Bunt hier algoritmisch rekenen?] wordt voor lange tijd uitgesteld. Zoveel mogelijk wordt er met hoofdrekenen gewerkt. De tafels van vermenigvuldiging worden regelmatig herhaald.

Uitkomsten van opgaven gaan de 1000 niet teboven. In aftrekopgaven blijft het aftrektal beneden 1000. In keersommen is de vermenigvuldiger meestal een getal met twee cijfers en blijft het product beneden de 1000. Ook het delen blijft beperkt tot kleine getallen.

De meeste boeken geven voor het metrieke stelsel de lengtematen van millimeter tot kilometer en behandelen de vereenvoudigingen [reductions] in het dagelijks leven. De cursus voor dit jaar behandeld de kubieke maten: liter, deciliter en hectoliter, en de gewichten: kilogram en hectogram. In sommige scholen gaan de leerlingen zelf meten en wegen.

Alle Nederlandse munten worden behandeld, met berekeningen tot aan fl. 10,--. Evenals berekeningen met uren, minuten en seconden.

Het uitspreken van aantallen groter dan 1000 wordt onderwezen.

In het tweede semester wordt er veel geoefend [numerical calculation] met rekenen met de vier basisoperaties.

In de vierde klas worden de grotere getallen behandeld [ik heb tot nu toe ‘number’ meestal vertaald met aantal; kent het Engels niet het onderscheid tussen getal en aantal?], maar in de meeste boeken zijn dat getallen met vier cijfers, op zijn hoogst 5. Om het inzicht in de getalsystematiek te bevorderen, wordt het tellen met gelijke groepen behandeld, bijvoorbeeld groepen van 200, of 300, enzovoort. [Is dit wat Treffers bedoelde, waar hij de oorsprong van zijn kolomrekenen legde in het werk van van Gelder? Maar kolomrekenen is echt iets anders dan wat Bunt hier beschrijft, zou ik denken. b.w.] De basisbewerkingen worden geoefend, daarnaast blijft hoofdrekenen belangrijk.

Nu worden breuken onderwezen. In de 1e, 2e en 3e klas zijn breuken al wel aan de orde geweest bij het verdelen van hoeveelheden, maar rekenen met breuken is nog niet gedaan. Toch hebben de leerlingen al wel geleerd om bijvoorbeeld 17 appels te verdelen tussen 2, 3 of 4 kinderen. De meeste methoden voor de vierde klas beperken zich tot het behandelen van simpele operaties, zoals het schrijven van gehele getallen in de vorm van breuken met een gegeven noemer, het vereenvoudigen van breuken, en het optellen en aftrekken van breuken met een gelijke noemer. Die noemer blijft meestal beneden de 10.

Veel boeken geven voor dit jaar de notatie van decimale breuken. Ze behandelen ook het optellen en aftrekken van decimale breuken, en vermenigvuldigen en delen van een decimale breuk met een geheel getal als vermenigvuldiger of deler. Omtrek en oppervlakte van het vierkant en de rechthoek worden behandeld. Leerlingen ontdekken voor zichzelf de formule voor de oppervlakte van een rechthoek door die oppervlakte te verdelen in vierkante centimeters.

Gewichten, lengtematen en het meten van tijd nemen nog steeds een belangrijke plaats in. Bij het toegepaste rekenen blijven de opgaven eenvoudig, zoals: Moeder koopt 1 kg aardappels voor 16 cent en betaalt met een gulden; heoveel krijgt ze terug?

In de vijfde klas wordt er stevig geoefend met het rekenen met gehele getallen. In de opgaven moeten een aantal bewerkingen achtereenvolgens worden uitgevoerd, en de betreffende getallen worden geleidelijk groter. De basisbewerkingen met decimale breuken komen nu volop aan de orde.

Opgaven zoals de volgende moeten bekend zijn:


      96,358 – 27,08,

      3,75 × 36,824,

      84,25 : 0,75.


Haakjes en vierkante haakjes worden in eenvoudige opgaven gebruikt.

Het programma omvat het optellen en aftrekken van breuken met verschillende noemers; vereenvoudigen van breuken; vermenigvuldigen en delen van een breuk door een geheel getal.

In het algemeen komen de volgende breukensommen voor: [Bunt schrijft de breuken als bijvoorbeeld een half : ½ In HTML kan ik dat voor de meeste breuken niet reproduceren, dan wordt het dus 1/2. b.w.]


      6 5/8 + 3 3/5 + 2 5/6,

      3 5/14 : 1 1/2,

      3 × 5 1/6,

      4 4/7 : 8.


Er zijn echter ook methoden waarin veel moeilijker getallen worden gegeven, in het bijzonder in methoden voor leerlingen die toelatingsexamen voor HBS of gymnasium [Bunt gebruikt grammar school voor beide] gaan doen. In een methode voor de vijfde klas noteerden we bijvoorbeeld de volgende opgaven:


      4 1/2 × 2 2/3 × 7 1/2 = . . . . ,


      9,45 + 1,26 × 0,18   = . . . .

          3,15 × 0,324


In deze klas wordt ook het omzetten van gewone breuken naar decimale breuken onderwezen.

Het berekenen van oppervlakten, omtrekken en inhouden wordt grondiger behandeld.

In veel methoden wordt ook een begin gemaakt met het berekenen van percentages en met de behandeling van verhoudingen. De toegepaste rekenopgaven worden moeilijker.

In de zesde klas wordt het rekenen met gehele en gebroken getallen voortgezet, maar nu komen er grotere verschillen tussen de oefeningen bedoeld voor de leerlingen die zich voorbereiden op de toelatingsexamens voor HBS en gymnasium, en voor leerlingen die die voorbereiding niet krijgen.

Het berekenen van percentages wordt behandeld met verschillende soorten opgaven, terwijl er ook regelmatig sommen zijn waarin de verhouding tussen getallen aan de orde is. Veel methoden geven ook berekeningen van de oppervlakken van driehoeken, parallelogrammen en cirkels.

Methoden voor de volksschool bevatten oefeningen over het bijhouden van een eenvoudig kasboek. Sommen over kopen en verkopen, winst en verlies, en rente, komen regelmatig voor in de rekenboeken voor de volksschool evenals in die voor de voorbereidende school. De leerlingen die aan het eind van dit schooljaar het toelatingsexamen voor HBS of gymnasium afleggen bestuderen meer onderwerpen dan de andere leerlingen, zoals H.C.F en L.C.M [acronymen in de Engelse text, ik kan deze niet zomaar vertalen, b.w.]; ze lossen ook meer complexe opgaven op, in het bijzonder met verhoudingen. Veel tijd wordt besteed aan het voorbereiden op de toelatingsexamens door de leerlingen opgaven te laten maken uit recente examens.

[mijn eigen ervaring: in de winter van 1956 waren de kolen op rantsoen, was de school dus gesloten, maar ging voor een kleine groep de voorbereiding op het toelatingsexamen en, in mijn geval, de proefklas gewoon door. b.w.]


10. Onderwijsmethoden

De actuele werkwijze is dat de onderwijzer nauwgezet de rekenmethode volgt waarin de leerstof systematisch is geordend. De moeilijkheid neemt geleidelijk toe en iedere moeilijkheid is opgelost in vele details. Zo behandelt een methode voor een voorbereidende school het delen waarin de decimale komma voorkomt in de deler, het deeltal of het quotiënt door verschillende gevallen met oplopende moeilijkheid te geven: [a, b, c en d zijn opgaven voor een staartdeling, ik kan hier niet de notatie van Bunt volgen: eerst het deler met haakje sluiten, dan het deeltal met een bovenstreep]


  1.     328,32 / 19
  2.     1,5914 / 73
  3.     13,2 / 8
  4.     29,2 / 16
  5.     26 : 125
  6.     3 : 80
  7.     0,12 : 16
  8.     0,9 : 375
  9.     24,05 : 6,5
  10.     7,913 : 0,41
  11.     0,511 : 0,146
  12.     0,51 : 0,0136
  13.     1/4 is 1 : 4
  14.     1/8 is 1 : 8


Ieder van deze gevallen wordt klassikaal behandeld, waar de onderwijzer een voorbeeld geeft om te laten zien hoe de opgave gemaakt moet worden, waarna de leerlingen dit gaan oefenen. Alle leererlingen maken alle opgaven. Deze onderwijsmethode bezorgt veel leerlingen grote moeilijklheden vanwege verschillen in rekenprestaties. Daarom wekt het geen verbazing dat vooral in de hogere klassen individueel onderwijs steeds meer voorkomt. Wanneer dan een bepaald onderwerp is onderwezen aan de hele klas, worden opgaven geselecteerd die passen bij een bepaald intellectueel niveau van de leerlingen. In veel gevallen maakt de onderwijzer zelf de selectie van de opgaven maar er zijn ook rekenmethoden die de onderwijzer groepen oefeningen aanreiken van verschillend niveau van moeilijkheid. Maar een nadeel van deze geïndividualiseerde instructie is dat de klassikale inleiding op nieuwe onderwerpen niet meer vlot verloopt, in het bijzonder omdat de leerlingen die niet zo goed zijn met cijfers vaak minder oefening hebben gehad op de voorgaande moeilijkheden dan de andere leerlingen.

In sommige scholen worden de leerlingen voor de rekenlessen verdeeld over drie of meer groepen met ongeveer even rekenvaardige kinderen. In iedere groep wordt een eigen onderwerp behandeld, en de bijbehorende oefeningen worden gedaan.

Er is nog een andere methode die in een aantal experimenteerscholen wordt gebruikt om klassikaal onderwijs mogelijk te maken en tegelijkertijd een differentiatie in onderricht te krijgen. De sleutelonderwerpen uit de rekenstof die voor dat bepaalde jaar behandeld wordt, worden klassikaal onderwezen, waar passende oefeningen bij horen. Dit vindt buiten de rekenmethode om [apart from the textbook] plaats. In deze benadering kiest de leerling uit de opeenvolgende paragrafen in zijn boek de opgaven die hij zelfstandig kan maken, zonder dat zij eerst zijn behandeld. Als hij op deze manier het hele boek heeft doorgewerkt, begint hij opnieuw en probeert nu de sommen die hij eerst niet aankon. Het klassikale onderwijs van de sleutelbegrippen is in de tussentijd voortgegaan en dankzij die behandeling kan de leerling nu een aantal sommen maken die eerst nog zijn begrip teboven gingen. Tenslotte krijgt hij enige individuele hulp bij opgaven die hij zelfs in de derde ronde niet aankan. Erg vlugge leerlingen gaan een volgend boek voor deze zelfde klas doorwerken wanneer zij met dit boek klaar zijn.

Voor de Tweede Wereldoorlog werd algemeen een bepaalde rekenmethode gebruikt die zich hield aan een stricte logische methode. Eerst werd een onderwerp volledig behandeld, met alle details. Pas wanneer het optellen van breuken volledig was behandeld, bijvoorbeeld, werd begonnen aan de andere onderwerpen: aftrekken, vervolgens vermenigvuldigen en tenslotte delen, ieder op dezelfde grondige manier behandeld. Net voor de oorlog kwam er een nieuwe methode uit, in reactie op die logische methode, waarin korte behandelingen van verschillende onderwerpen elkaar snel opvolgden. In de tweede som van iedere paragraaf kwam de in de voorgaande paragraaf behandeld moeilijkheid terug, terwijl in de volgende opgaven ook de moeilijkheden uit eerdere paragrafen terugkwamen. Op deze manier dacht men tegemoet te komen aan het bezwaar van de oudere methode, omdat de leerlingen niet zo makkelijk de kennis van het voorgaande onderwerp zouden vergeten vanwege tussentijdse langdurige behandeling van andere onderwerpen. Kort na het uitkomen van deze methode gingen bijna alle scholen op deze methode over. Op dit moment is de belangstelling ervoor tanende. Men vindt de opgaven te moeilijk en niet sporend met situaties uit het werkelijke leven. Er zijn nu nieuwe methoden in gebruik, die gemeenschappelijk hebben dat zij veel aandacht geven aan voorbereidend en elementair rekenen, en dat zij het opdelen van de leerstof in afzonderlijke taken benadrukken. Zij geven meer aandacht aan cijfers [Bunt heeft: figures, maar bedoelt misschien pictures? b.w.], tekeningen en grafieken, en de nieuwe methoden voor de lagere klassen hebben veel rekenplaatjes en schematische voorstellingen.

Het telraam [abacus] heeft nog steeds een belangrijke rol als een onderwijsmiddel in de klas zowel als voor individuele instructie. Rekenspelletjes zijn behulpzaam in zowel voorbereidend als elementair rekenen bij het onderwijzen van tellen, optellen en aftrekken. Er is een grote variëteit in. Vaak zijn het onderwijzers die het initiatief hebben genomen voor nieuwe instructiemiddelen. Uit de vele soorten melden we:


  1. rekenrupsen (gevouwen strips van linnen, 5 cm breed, met op ieder van de 10 of 20 onderverdelingen een stuk karton geplakt van 1 cm breed met een stip);
  2. rekenkubussen (een grote dobbelsteen met stippen of cijfers erop);
  3. dominostenen, ganzenspel;
  4. knopenrek (een strook linnen van 10 cm breed en vastgemaakt aan twee steunen; er zijn 1000 knopen op genaaid op zo’n manier dat dat de knopen die de tienen voorstellen een opvallend verschillende kleur hebben);
  5. rekenstokken en rekenstaven (een staaf met gaten waarin verschillend gekleurde stokjes gestoken kunnen worden).


Montessori-scholen gebruiken de bekende Montessori-rekenmaterialen, onder andere bestaande uit losse kralen, kraalstaven, kraalmatten, kraalkubussen, enzovoort. [vertaal ik dit goed? b.w.]

In de hogere klassen komen we kubieke maten en gewichten tegen. Meestal is er ook een kubieke decimeter die verdeeld is in kubieke centimeters, terwijl er in de meeste scholen een afbeelding of een kaart is met een schematische afbeelding van de vereenvoudiging van de maten.


11. Resultaten

Over het algemeen zijn de resultaten van het rekenonderwijs niet bevredigend. Ondanks grote inspanningen door de school blijken veel kinderen niet in staat om de stof te beheersen, en zelfs de leerlingen die in school goede resultaten boekten, kunnen na hun schooltijd nog grote moeilijkheden ondervinden met het oplossen van rekenopgaven in het dagelijks leven.

[Zou Hans Freudenthal deze passage in het bijzonder hebben gelezen, en in zijn eigen werk herhaald? b.w.]

Ook leraren in het voortgezet onderwijs zijn niet echt blij met de rekenvaardigheid van de jonge leerlingen, en de klacht is algemeen dat alleen de leerstof tot en met klas vier werkelijk wordt beheerst. De onderwerpen van klas vijf en zes beheersen ze niet of nauwelijks.

In het voortgezet gewoon lager onderwijs houdt het onderwijs rekening met de beperkte intellectuele gaven. Breuken en het berekenen van percentages krijgen een nieuwe grondige behandeling. In de ambachtsschool zijn de breuken opnieuw aan de orde, en ook in het uitgebreid lager onderwijs krijgt dit onderwerp opnieuw de aandacht.


12. Moderne ontwikkelingen.

De onbevredigende resultaten van het rekenonderwijs zijn reden voor onderwijskundigen om er volop aandacht aan te geven. Diverse experimenteerscholen spannen zich in om bevredigender resultaten te bereiken door het uitproberen van didactische methoden die rekening houden met individuele verschillen tussen de leerlingen.

Voorzover deze onderzoeken enig resultaat hebben, benadrukken ze allen de noodzaak om de leerstof te beperken.

Van de vele publicaties met pogingen om het rekenonderwijs in betere banen te leiden, noemen we:


  1. Dr. H. Turksma en J. K. Timmer, Rekendidactiek [Wolters, 1953]. In dit boek wordt het rekenonderwijs benaderd vanuit de denkpsychologie.
  2. Het vak rekenen op de lagere school. Een rapport over het rekenen, door leraren van kweekscholen. Het bepleit beperking van de leerstof en bespreekt mogelijkheden om te differentiëren.
  3. Een rapport door een commissie uit de vereniging ‘De drukpers op school’ en de Werkgroep Wiskunde van de Nederlandse kamer van de New Education Fellowship, waarin opmerkelijk:
    1. een drastische reductie van de behandeling van gewone breuken;
    2. aandacht voor het afronden en het schatten van getallen;
    3. het gebruik van praktische hulpmiddelen: spoorwegboekjes, telefoonnummers, het lezen van staaf-, lijn- en cirkeldiagrammen;
    4. aandacht voor het controleren van resultaten, zoals optellen op twee manieren: van boven naar beneden, en van beneden naar boven.


De invloed van de moderniseringpogingen van het rekenonderwijs samenvattend, kunnen we zeggen dat in het bijzonder in de lagere klassen belangrijke veranderingen worden gemaakt. Op dit moment is er veel meer aandacht voor het voorbereidende rekenen [bedoelt Bunt hier zaken zoals getalbegrip? b.w.] dan voorheen, en men realiseert zich dat correct taalgebruik van grote betekenis is voor het verkrijgen van inzicht in kwantitatieve verbanden.

We noteren ook dat het rekenonderwijs meer en meer wordt aangepast aan problemen die in het latere dagelijks leven zullen voorkomen.

De stoffelijke waarde [material value] van het rekenen overheerst meer en meer. De formele waarde, in het bijzonder die met betrekking tot het leren denken, wordt minder belangrijk gevonden dan voorheen. De redactiesommen met onhandige gegevens verdwijnen uit de rekenmethoden en worden vervangen door meer praktische opgaven.

Opmerkelijk is tenslotte de grote plaats voor hoofdrekenen ten koste van het maken van opgaven met grote getallen. Wat het cijfermatig rekenen betreft is er een verschuiving naar eenvoudiger sommen en naar berekeningen met minder ingewikkelde handelingen en kleine getallen.

p. Brinksma, in Bunt 1958, 6-13

Het is een nuttige uiteenzetting, en Brinksma zal echt zijn best hebben gedaan om goed weer te geven wat de rekenmethoden hem vertellen, en de leraren, onderwijzers en docenten die hij ongetwijfeld zal hebben gesproken. Maar in dit verhaal ontbreekt dus de kwantificering. Het is op basis van zijn uiteenzetting niet mogelijk om een vergelijking te maken van de kwaliteit van het rekenonderwijs van de vijftiger jaren met die van begin 21e eeuw (maar in andere hoofdstukken in deze bundel komen wel concrete gegevens voor, ook een enkele kwantificering van behaalde resultaten). Er zijn wel een hoop aanwijzingen en suggesties, maar om die te kunnen toetsen zijn hardere gegevens nodig. Zijn die er? Heeft Stellwag bijvoorbeeld kwantitatieve gegevens uit die toelatringsexamens en proefklassen (H. W. F. Stellwag (1955). Selectie en selectiemethoden. Een inleidende studie in het aansluitingsvraagstuk L.O. en V.H.M.O. J. B. Wolters. ).

Nog even verder met Brinksma: de VGLO (Voortgezet Gewoon Lager Onderwijs).

C. Voortgezet Gewoon Lager Onderwijs( . . . )

De VGLO wordt bezocht door kinderen die nog leerplichtig zijn. Twee groepen laten zich onderscheiden


  1. leerlingen die onvoldoende intellectuele capaciteiten hebben voor andere vormen van onderwijs na de lagere school
  2. leerlingen die maar een jaar in het VGLO blijven, en dan doorgaan naar de ULO (Uitgebreid Lager Onderwijs) of HBS of gymnasium.
Dit schooltype bedient maar weinig leerlingen en is alleen te vinden in middelgrote en grote steden. Het totaal aantal leerlingen is ongeveer 27.000.

In veel scholen krijgen de leerlingen bij het verlaten van de school een diploma, soms na een eenvoudig schoolexamen. Met dit diploma hebben zij voorrang bij het krijgen van werk in handel en industrie. Het examen voor dit diploma gaat onder andere over rekenen, taal en aardrijkskunde.


Rekenen blijft beperkt tot cijfermatig rekenen [numerical calculation], sommen over het metrieke stelsel, het berekenen van percentages en eenvoudige opgaven uit het dagelijks leven.


In de regel heeft dit voortgezet lager onderwijs twee leerjaren.

Het intellectueel niveau van de leerlingen op deze scholen voor voortgezet lager onderwijs is niet hoog. De meeste leerlingen zijn begiftigd met slechts bescheiden capaciteiten. Over het algemeen komen zij uit eenvoudige gezinnen.

Handwerk neemt voor de jongens neemt een belangrijke plaats in, voor de meisjes naaldwerk evenals huishoudelijke taken.


Rekenen als vak wordt in vier of vijf lesuren per week gegeven. De rekenboekjes in deze scholen laten grote onderlinge verschillen zien. Er zijn scholen voor voortgezet lager onderwijs waar naast het gewone rekenen van de lagere school ook eenvoudig boekhoudkundig rekenen wordt onderwezen, en waar zelfs wat onderwijs wordt gegeven in algebra en meetkunde.


Er zijn ook scholen voor voortgezet gewoon lager onderwijs waar geen afzonderlijke rekenlessen worden gegeven, maar waar het rekenen is geïntegreerd in het onderwijs van bepaalde sleutelthema’s. Alle lessen in deze scholen zijn gegroepeerd rondom 20 sleutelthema’s onder de volgende titels gerangschikt:


  1. “De mens en zijn omgeving”, onderverdeeld in vijf secties, waaronder “De mens in zijn verhouding tot de dierenwereld”.
  2. “Nederland temidden van andere landen”, met de sectie “Economische banden”.
  3. “De mens en zijn strijd om het bestaan”, met de sectie “Volksgezondheid”.
  4. “De mens en zijn vrije tijd”, met de sectie “Sport en spelletjes”.


Het rekenen dat bij deze sleutelthema’s hoort is onderverdeeld in taken van verschillende moeilijkheid. De A-taak bevat de eenvoudigste, de B-taak de moeilijkere, en de C-taak de allermoeilijkste opdrachten [work]. Om een idee te geven van de gang van zaken, zullen de eerste en de vijfde som van ieder van deze drie taken geven voor het sleutelthema “Volksgezondheid”.


Rekenen taak A.

1. Er werden in ons land 284 456 kinderen geboren in 1946, 267 348 in 1947, 247 923 in 1948 en 236 177 in 1949. Hoveel waren dat er samen in die vier jaren?

5. Meneer Tuinstra heeft van 12 augustus tot en met 27 augustus in het ziekenhuis gelegen. Hij was verzeker volgens de nationale verzekering die fl. 6,25 per dag vergoedde. Hoeveel moest hij zelf nog betalen voor zijn verblijf in het ziekenhuis bij het dagtarief van fl. 8,50 van het ziekenhuis? (de dag van opname en de dag van ontslag horen beide tot de verzorgingsdagen.)


Rekenen taak B.

1. In ons land overleden 37 871 mannen en 34 588 vrouwen in 1948. Voor 1949 waren deze aantallen respectievelijk 41 750 en 39 327.
Het aantal sterfgevallen was in 1949 groter / kleiner dan in 1948.

2. [sic] Mevrouw Arends heeft in het ziekenhuis gelegen van 28 september tot en met 14 oktober. De klasse-tarieven voor het ziekenhuis zijn:
1e klas          fl. 14,— per dag,
2e klas A      ,,   10,25 per dag,
2e klas B      ,,     8,75 per dag,
3e klas A      ,,     7,25 per dag,
3e klas B      ,,     6,— per dag,
De familie Arends was verzekerd voor ziekenhuiskosten van fl. 6,— per dag.
Mevrouw Arends heeft klasse 2 B gelegen. Als ze klasse 2 A had gelegen, zou ze . . . . . meer hebben moeten betalen.
(de dag van opname en de dag van ontslag horen beide tot de verzorgingsdagen.)


Rekenen taak C.

1. Uit de statistieken:

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
jaar  aantal geboorten  aantal sterfgevallen  overschot van geboorten
                                                   over sterfgevallen
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1946     286 456             80 151
1947     267 348             77 646
1948     247 923             72 459
1949     236 177             81077
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

        Als het aantal geboorten groter is dan het aantal sterfgevallen, wordt het verschil het overschot van geboorten over sterfgevallen genoemd. Bereken het overschot voor ieder van de vier jaren. Hoe groot was het overschot van geboorten over sterfgevallen voor de vier jaren samen? Controleer het resultaat met hulp van de twee boven gegeven kolommen.

5. Wim Hoogstra heeft van 13 september tot en met 7 december in het ziekenhuis gelegen. Hij lag klasse 3 A, waarvoor fl. 7,25 per verpleegdag in rekening werd gebracht. De familie Hoogstra was verzekerd voor ziekenhuiskosten. De verzekeringsmaatschappij betaalde fl. 6,50 per dag tot een maximum van 42 verpleegdagen. Hoeveel moest meneer Hoogstra betalen voor het verblijf van Wim in het ziekenhuis?


Naast twee methoden voor het rekenonderwijs, is een derde methode veel in gebruik. Die bestaat bestaat eruit de leerlingen eenvoudige opgaven uit het dagelijks leven te laten maken, zoals het bijhouden van een kasboek en berekeningen van percentages, oppervlakken en inhouden. Dit is eenvoudig werk en de leerlingen zijn in staat om deze opgaven voor het grootste deel zelfstandig te maken zonder veel hulp van de leraar.

Brinksma, in Bunt 1958, p. 14-16


J. D. Brinksma (1958). Kindergarten, elementary school and continued elementary school. In L. N. H. Bunt: The teaching of arithmetic and mathematics to students between 6 and 15 years of age in the Netherlands (3-16). Subcommittee for the Netherlands of the International Commission on Mathematics Instruction. J. B. Wolters. [Hierboven is van een veel uitgebreider deel van dit hoofdstuk al een vertaling gegeven, ook van onderstaande Engelse tekst]

12. Modern tendencies

The unsatisfactory results of teaching arithmetic is one of the reasons why this subject has the full attention of educators. Several experimental schools are making efforts to achieve more satisfactory results by trying out didactical methods which take into account the individual differences of the pupils.

In so far as these investigations have come to any results, they show the common feature that they stress the necessity of limiting the subject matter.

( .. )

Summing up the influence exerted by the attempts to modernize the teaching of arithmetic, w may say that especially in the lower grades important changes are being made. At the moment far more attention is paid to preparatory arithmetic than before, and it is reaized that a correct usage of language is of great significance for getting insight into quantitative relations.

We also notice that the teaching of arithmetic is being more and more adapted to questions that will later on be raised in daily life.

The material value of teaching arithmetic is more and more predominating. The formal value, specially with regard to learning to think, is considered of less importance than before. The problem-sums in which impractical data occurred are disappearing from the arithmetic books and are replaced by more practical problems.

Finally we note the large place given to mental arithmetic at the expense of doing sums with big numbers. As to numerical calculation, there is a shift to simpler sums and computations involving less complicated operations and small numbers.

Brinksma, in Bunt, p. 13. Eerder is hier al een vertaling van gegeven.



Corn. S. Bliek (1958). De huishoudschool. In L. N. H. Bunt: The teaching of arithmetic and mathematics to students between 6 and 15 years of age in the Netherlands (62-66). Subcommittee for the Netherlands of the International Commission on Mathematics Instruction. J. B. Wolters.


Bliek gebruikt resultaten uit een niet nader aangeduid onderzoekje.

Een recent onderzoek naar de kennis, capaciteiten en studiemethoden van de leerlingen in de eerste klas leverde de volgende conclusies op:

  1. taalarmoede en tekortschietende woordenschat maken het deze meisjes moeilijk om eenvoudige geschreven taal voldoende te begrijpen. Ze zijn vaak niet in staat om zich [in taal] behoorlijk uit te drukken.
  2. Ze lezen onnauwkeurig en zijn tevreden met het maar gedeeltelijk begrijpen van wat er staat, ook in gevallen waarin de tekst duidelijk hun belangstelling heeft.
  3. Ze lijken veel moeite te hebben met het verbinden van bepaalde delen van de inhoud van een tekstfragment met andere delen.
  4. Ze zijn niet in staat om de gegevens in een bepaalde oefening van elkaar te onderscheiden en te ordenen.
  5. Ze hebben er moeite mee om zichzelf voor te stellen in andere situaties, ook wanneer dat eenvoudige situaties zijn.


    In het kader van dit rapport [Bunt] hebben we in het bijzonder belangstelling voor de resultaten van de sectie over rekenen in het genoemde onderzoek. Die sectie bestond uit 12 sommen, 8 “gewone” en 4 die alleen vroegen om goed lezen. De bovengenoemde teleurstellende conclusies waren mede gebaseerd op analyse van de antwoorden op deze sommen.

    Het rekengedeelte bestond uit de volgende oefeningen. Zij werden gemaakt aan begin van het eerste schooljaar. Bij iedere oefening is het percentage goede antwoorden aangegeven.

    [Ik heb deze oefeningen weer terugvertaald uit het Engels, dat een vertaling is van de Nederlandse opgaven. Dat is dus een beetje tricky. Maar het is de beste informatie die ik heb.]


    Oefeningen
    Bantwoord deze vragen
    Laat je niet foppen.

    1. 15 m katoen kost fl. 6,75. Hoeveel blijft er over van fl. 10,— als ik 9 m koop? [29]
    2. Peter heeft 3 broers en 5 zusters. Moeder geeft ieder kind 23 kersen. Hoeveel kersen geeft moeder bij elkaar? [57]
    3. 16 jongens verdelen 96 noten. Hoeveel noten hebben zij samen? [61]
    4. Een lucifersdoosje is 5 cm lang, 3½ cm breed en 1½ cm hoog. Hoeveel cm is de omtrek van het vlak waarop de lucifer wordt gestreken? [5]
    5. Een weg is 225 m lang. Langs de weg worden bomen van 5 m hoog aangeplant. Hoeveel bomen zijn er nodig? [28]
    6. Wanneer je een rij pannen op een dak telt, van links naar rechts, zijn er daar 48 van. Wanneer je ze van boven naar beneden telt, zijn er 12. Hoeveel pannen liggen er op het dak? [66]
    7. Als één jongen iedere dag één appel eet, in hoeveel dagen hebben 10 jongens dan 10 appels gegeten? [Deze vraag is dubbelzinnig, mogelijk heeft de originele Nederlandse tekst die dubbelzinnigheid niet. b.w.] [37]
    8. Een trein rijdt 90 km per uur. Hoeveel seconden heeft de trein nodig om één km af te leggen? [18]
    9. Een timmerman legt een vloer in een zaal die 10 m lang en 4 m breed is. Hoe oud is de timmerman? [48]
    10. John krijgt drie maaltijden per dag. Hoeveel maaltijden is dat in een week? [85]
    11. Hoeveel in de maand augustus? [55]
    12. Hoeveel in een jaar? [22]


    As we wat dieper in de resultaten duiken, lijkt het dat deze meisjes tekortschieten in aandachtig en nauwkeurig lezen, en vaak zonder na te denken een een oplossing kiezen die ze kennen. Ze hebben ook moeite met het berekenen van oppervlakte en omtrek van een rechthoek, en ze maken veel fouten in het rekenen zelf.

    Bliek, in Bunt 1958, p. 63-64

Dit zijn interessante gegevens, maar we moeten wel voorzichtig zijn in de interpretatie, en bepaald voorzichtiger dan Bliek hier tewerkgaat. Bijvoorbeeld: over de leeftijd van de timmerman — beter bekend als de so over de leeftijd van de kapitein — is vaak onderzoek gedaan. Het is geheid een valkuil waar ook slimme scholieren vol intuinen. De resultaten op de strikvragen zeggen dus weinig tot niets over de meisjes van de huishoudschool. Lieven Verschaffel zal wel belangstelling hebben voor dit toetsje en de resultaten: hij heeft onderzoek gedaan naar de effecten van de schoolsheid van opgaven en situaties op de wijze van antwoorden door leerlingen.

Een andere onbedwingbare gedachte die hier bij me opkomt: waarschijnlijk moeten we voor de intellectuele capaciteiten waarop deze opgaven aanspreken, rekening houden met het Flynn-effect (trend van stijging van intelligentie in de bevolking, doorheen de 20e eeuw): de 12-jarige meisjes van 2011 zijn ongetwijfeld beter in staat met de logische kwesties uit deze redactiesommen om te gaan dan hun zusters uit de vijftiger jaren. Een directe vergelijking door op het huidige vmbo ditzelfde toetsje af te nemen, kan dus behoorlijk misleidend zijn.


1971



R. A. de Jong (1986). Wiskobas in methoden. Vernieuwing van reken/wiskundemethoden voor het Nederlandse basisonderwijs (1965-1985). Vakgroep Onderzoek Wiskundeonderwijs en Onderwijscomputercentrum, Rijksuniversiteit Utrecht. Proefschrift Rijksuniversiteit Utrecht.


2009


Jan Karel Lenstra (Vz.) (4 november 2009). Rekenonderwijs op de basisschool. Analyse en sleutels tot verbetering. Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen (KNAW), Advies KNAW-commissie rekenonderwijs basisschool pdf


2010


In dit jaar komt de nieuwe rekenmethode Reken zeker van Piet Terpstra en Arjen de Vries op de markt (Wolters-Noordhoff html en pdf), op dat moment de enige rekenmethode die niet is gebaseerd op het realistisch rekenen van de Freudenthal-groep. De rekendidactiek valt kort te kenschetsen als door Jan van de Craats aangegeven in zijn artikel Daan en Sanne kunnen niet rekenen. Zie ook deze pdf. Tom Braams schetst de eerste ervaringen: pdf. Het gaat op deze webpagina om de belangrijke ontwikekling dat in een markt waarop alleen realistische rekenmethoden beschikbaar waren, er in 2010 weer een keuze is tussen realistisch of ‘gewoon’. Wat ‘gewoon’ betekent, zie daarvoor het artikel van Jan van de Craats, en de website van de Stichting Goed Rekenonderwijs.


Jan van de Craats (2007). Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen. pdf


Trouw (8 april 2009): Nieuwe kans voor ouderwets rekenen dhtml



M. J. Molema (2010). Analyse van een realistische en een traditionele rekenmethode in groep 3: verschillen tussen Pluspunt en Reken zeker. GION. pdf.



V. van Achter (1972). Stromingen in het moderne rekenonderwijs. Zwijsen.



Het boekje gefet inderdaad wat de titel belooft: stromingen eind jaren zestig.



24 april 2012 \ contact ben at at at benwilbrink.nl    

Valid HTML 4.01!   http://www.benwilbrink.nl/projecten/rekenonderwijs_ontwikkelingen.htm