• home
• sitemap
• publications
• projects
• math education
• wiskundeonderwijs
• word problems
• mail

Word problems

An inventory

Ben Wilbrink

The word problem in primary education is an old format already known in Babylon.

direct hits

Stephen K. Reed (1999). Word problems. Research and curriculum reform. Erlbaum. questia.

Lieven Verschaffel, Brian Greer and Erik de Corte (2000). Making sense of word problems. Lisse: Swets & Zeitlinger.

• This is quite an impressive review of research in Leuven and Belfast, and therefore also of the field as a whole. On a personal note: the book meticulously spells out the bad practices in artithmetics and mathematics education, at least as far as these damned word problems are concerned. As such, it provides lots of arguments to stop bad practices, in classrooms as well as in national tests and examinations. I will use this work to make my criticisms of, for example, the Nationale Rekentoets html more to the point.
• Regrettably, the book or its chapters are not available online. Happily, many of the sources mentioned in this book are; you will (in due time) find them in this page.
• As the title indicates, the book is about word problems as such, emphasizing their mathematical or educational sense or nonsense. Other research, such as Van Essen or Verdwaald (see below). sees upon aspects of word problems that are problematic in, for example, a linguistic sense.
• 7. Mathematical modeling of aspects of reality.
  • The authors would like to see word problems used as good problem solving exercises or even projects. I do not quite see the natural link between empirical research into the abuses of the word problem in education, and the proposal to use word problems in mathematical problem solving. The latter activity could do very well without the bad connotations of the word problem.
  • This chapter necessarily is rather philosophic, and in places also psychologistic (misplaced use of psychological concepts).
  • First the philosophic part. The chapter's subject is 'the relationship between aspects of reality and mathematical structures.' The naive conception behind the abuse of word problems as researched by Verschaffel and others is 'that all application problems can be appropriately responded to by simple mathematical formulations, while ignoring complications in the real-life situations described.' They try to replace this naive notion by some les naive notions. I suspect, however, that the subject still is treated superficially, ignoring fundamental work on mathematical modeling - more often than not this being measurement - by Patrick Suppes, among others. Some of the others are: Luce, Krantz, and Tversky (for references see the measurement page). An example is the measurement of length: one piece of cloth has length a, another similar piece of cloth has length b, what is the length of the two pieces cloth lined up? Why would it be appropriate in this case to take that length to be a + b? I did expect Verschaffel a.o. to treat this case in some detail, instead they refer to a bunch of references not knit together very tightly. I have yet to study this literature, however. In the mean time, I must thank Verschaffel and others for the lead in the direction of the work on mapping aspects of reality into numbers (as one possible mathematical structure to map into). p. 125:"We propose a characterization of mathematics as having two faces, one being its role in describing aspects of the world, and the other the constructio of abstract structures; modeling forms the link between these two aspects."
  • I am not particularly happy with the above characterization. My intuition is that it is an outright faulty one. Using mathematics to describe aspects of the world is mathematical modeling, is mapping aspects of the world into an abstract structure. Maybe this is a fine point without repercussions on the research project of Verschaffel and others; even so, it would be better to establish the basics in an appropriate way.
  • John has 7 apples and Mary has 3. How many do they have altogether?
    
    How many cookies are there in 3 boxes with 4 cookies in each box? [p. 126]
    By the way, Verschaffel a.o. never seem to comment on the style problem of using numbers '3,' '7' instead of 'three,' 'seven' in word problems. Such a breach of style emphasizes that the numbers themselves as the crucial part of the word problem.
    Looks simple, yet understanding these operations is psychologically complex, as well as philosophically. Wittgenstein is called on for the philosophical part, a number of other authors for the psychological one: "e.g. Carpenter, Moser, & Romberg, 1982; Fuson, 1992; Greer, 1992; Harel & Confrey, 1994; Hoebert & Behr, 1989; Verschaffel & De Corte, 1993, 1996." Presumably, lots of others could have been mentioned here as well. I'd like to see the work of e.g. Susan Carey mentioned (or other people in her line of research). I will look into the Verschaffel a.o. references.
  • Carpenter, Moser, & Romberg, 1982
• 8. Socio-cultural contexts of word problems.
  • Cooper and Dunne 1998, see below

Cathy Claman (2003). 10 Real SAT’s. New York: College Entrance Examination Board.

• In a negative sense, this kind of publication/test is an important example of the main problem of word problems: their situated character.
• On p. 142 figures a table of concordance between words and math operations. For example:
• More than, older than, farther than, greater than, sum of:   +   Addition.
• The sum of two integers is 36.     x + y = 36.
• My comment: this is a direct invitation for students not to think, but to act on associative memory. For example: A ship transports 25 sheep and 5 less goats than sheep. How old is the captain? The College Board would like you to do a subtraction operation here.

Noriyuki Inoue (2005). The realistic reasons behind unrealistic solutions: the role of interpretive activity in word problem solving. Learning and Instruction, 15, 69-83. [I have not yet seen this article. I do not have access.

• abstract It is known that school-aged children have a strong tendency to solve mathematical word problems by mechanically calculating numbers even if their calculational answers seem unrealistic. The present study found that undergraduate students also demonstrate this tendency, but many of them could justify their ‘unrealistic’ responses with sensible rationales. In-depth clinical interviews revealed that some of the ‘unrealistic’ responses stemmed from simply an unanticipated, but realistic understanding of the problem situations, while others stemmed from intentionally conforming to the culture of schooling. It is suggested that cognitive functioning in problem solving is highly dependent on an individual's contextual interpretation of the activity.

Barry Cooper and Máiréad Dunne (1998). Anyone for tennis? Social class differences in children's responses to National Curriculum mathematics testing. The Sociological Review, 46, 115-148.

• abstract
• Cooper's site
• Cooper and Harries (2005) see below

Stephen K. Reed (1999). Word Problems: Research and Curriculum Reform. Erlbaum. questia

T. P. Carpenter, J. M. Moser and T. A. Romberg (Eds) (1982). Addition and subtraction: A cognitive perspective. Erlbaum. Not available in questia.com

• Other titles are, however. Searching on the title of this book results in a barrage of relevant titles, some of them, not available to Verschaffel a.o. 2000:
  • Arthur J. Baroody and Ann Dowker (Eds) (2003). The Development of Arithmetic Concepts and Skills: Constructing Adaptive Expertise. Erlbaum. questia
  • Peter Gates (2001). Issues in mathematics teaching. Routledge. questia
  • John Mason and Sue Johnston-Wilder (2004). Fundamental constructs in mathematics education. RoutledgeFalmer. questia
  • Paul Cobb, Erna Yackel, Kay McClain (2000). Symbolizing and communication in mathematics classrooms: Perspectives on discourse, tools, and instructional design. Erlbaum. questia
  • Robert J. Sternberg and Talia Ben-Zeev (Eds) (1996). The nature of mathematical thinking (pp. 55-80), Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum. questia
  • Liping Ma (1999). Knowing and teaching elementary mathematics: Teachers' understanding of fundamental mathematics in China and the United States. Erlbaum. questia
  • Handbook of International Research in Mathematics Education Book by Lyn D. English, Maria Bartolini Bussi, Graham A. Jones, Richard A. Lesh, Dina Tirosh; Lawrence Erlbaum Associates, 2002 questia

Gerard van Essen (1991). Heuristics and arithmetic word problems : the effects of instructing heuristic strategies upon the ability of elementary school children to solve arithmetic word problems. Dissertation University of Amsterdam.

• Highly relevant research. A line of research not mentioned in Verschaffel a.o. (2000). [I have seen the dissertation, I have yet to study it thoroughly]

Arnoud Verdwaald (1998). Relational transformations in the process of discourse representation of simple word problems. Dissertation Catholic University of Nijmegen.

• Just as in the case of the Van Essen dissertation: Highly relevant research. A line of research not mentioned in Verschaffel a.o. (2000). [I have seen the dissertation, I have yet to study it thoroughly]

Yeap Ban Har, Ho Siew Yin, Berinderjeet Kaur & Lee Ngan Hoe (2002?). Children making sense during word problem solving. pdf [no longer available? 2-2008] paper. The pictured non-standard word problem is from this research.

• from the abstract ... derived from an investigation into children' responses to standard and non-standard mathematics word problems before and after an intervention programme. Standard word problems can be solved by identifying the correct operation and performing the necessary computation. The story context does not affect the solution. In solving non-standard word problems the story context is important in obtaining a correct solution.

Erik De Corte , Lieven Verschaffel , and Brian Greer (2000). Connecting mathematics problem solving to the real world. In: Proceedings of the International Conference on Mathematics Education into the 21st Century: Mathematics for living (pp. 66-73). Amman, Jordan: The National Center for Human Resource Development. pdf

David H. Jonassen (2003). Designing Research-Based Instruction for Story Problems. Educational Psychology Review, 15, 267-296. pdf [not available any more 2-2008]

• from the abstract Despite current research efforts in mathematics and science problem solving that emphasize situated and socially mediated approaches to solving authentic, complex problems, story problems remain the most common form of problem solving in K-12 schools and universities. Story problems typically present a quantitative solution problem embedded within a shallow story context. Most often, students use a procedural approach to their solution, directly translating story values into solvable algorithms. (...)This research review shows that solving story problems requires that learners construct a conceptual model of the problem that integrates the situational (story) content with an understanding of the semantic structure of the problem based on the principles of mathematics or science being practiced in the problem.

historical - comparative

Archimedes The cattle problem. A quite complicated word problem which Archimedes solved in epigrams, and which he communicated to students of such matters at Alexandria in a letter to Eratosthenes of Cyrene. html site by Chris Rorres.

• The answer is a number of 206545 digits. The site develops the solution, as well as one programmed in Maple. Even Archimedes might be amazed.
• A fine example of a word problem as mathematical amusement.

A snail was asked for dinner by a swallow. The swallow's nest was a mile away. The snail could travel only a twelfth of a foot a day. Say now how many days it took the snail to appear at the dinner.

This word problem dates from approximately 800, it is by Alcuin, Europe's (Charles the Great's) first 'school' teacher, and it already illustrates one characteristic of many word problems: it really is an absurd question, demanding an absurd answer. Assume a mile to be 7000 feet ..... .

Why wasn't it absurd to Alcuin? Well, the goal of posing this kind of questions was to sharpen the boys' minds. In the restricted sense of exercising arithmetics only, of course. The means were seen as adequate to reach this goal .... . The pupils, of course, were not in a position to question the master's questions, as is the case for today's pupils in elementary education.

A medieval textbook writer using realistic word problems more often than slightly absurd ones is Fibonacci (see Sigler's (2003) translation of his voluminous work, mentioned below).

Menso Folkerts (1978). Die älteste mathematische Aufgabensammlung in lateinischer Sprache: Die Alkuin zugeschriebenen Propositiones ad acuendos iuvenes. Überlieferung, Inhalt, Kritische Edition. Verlag der Österreichischen Akademie der Wissenschaften.

M. Folkerts and J. P. Hogendijk (Eds) (1993).Vestigia mathematica. Studies in medieval and early modern mathematics in honour of H. L. L. Busard. Rodopi.

• "Almost half of the volume consists of critical editions of important medieval Latin texts which have not been edited before."

Een el kost 10 schellingen. Hoeveel kost 12½ el? Antw. 6 pond Vlaams 5 schelling [er gaan 20 schellingen in een pond, Bartjens p. 77]

Vlas kost 6 stuivers per pond. Hoeveel kost 80½ pond? Antw. 24 gulden 3 stuivers.

Bartjens, 1779, p. 69. Voor de hele bladzijde, klik hier.

Kijk eens naar een bladzijde redactiesommen in Bartjens (1604/1779), een rekenboekje gericht op wat kooplieden nodig hebben: natuurlijk hebben al die redactiesommen over hoeveelheden en prijzen eenduidige antwoorden, en zijn het eenvoudige bewerkingen van de gegeven getallen. Sterker nog: bijna alle opgaven in Bartjens, en dat geldt ook voor de oudere rekenboekjes uit de 15e en 16e eeuw (Kool, 1999), zijn van dit type redactiesom. In de twintigste eeuw is er niet meer zo'n directe koppeling tussen leren rekenen en rekenen in het beroep, maar het fantastische is dat de redactiesommen nog steeds gevierd zijn.

Willem Bartjens (1604/1779). De vernieuwde cyfferinge van Mr. Willem Bartjens, waar uyt men meest alle de grond-regulen van de reeken-konst leeren kan. By Joannes Kannewet. Het boek is gescand beschikbaarop books.google.nl.

• page 68-69 shows the Rule of Three for fractions, a solved example (= prescription how to solve this specific type of problem), and another series of problesm for the reader to solve (the much older Treviso Arithmetic, see Swetz (1987), has only the prescriptions for solving the example problems, no problems to exercise!). The word problems in Bartjens typically are vocational, have a straightforward solution, and always a clear answer. The didactics are restricted to exercising the prescriptions given on new examples of the same type of word problem. There is no attemp whatsoever to discern sheer arithmetical skill from the skill to translate word problems into arithmetics.

Marjolein Kool (1999). Die conste vanden getale. Een studie over Nederlandstalige rekenboeken uit de vijftiende en zestiende eeuw, met een glossarium van rekenkundige termen. Hilversum: Verloren. html audio

• Almost all problems in the arithmetics books of the 15th and 16th century in the Low Countries are word problems authentic for the professions (merchant, carpenter, etcetera).
• Traditional word problems figure also in the arithmetics books. (par. 5.2.3).
• The reader of the Swetz (1987) study will recognize the same facts, issues and kind of word problems here.

You will surely recognize in the courier type problem a well known contemporary type of word problem. What progress, then, have me made in the didactics of arithmetics sinse these Middle Ages? Remark that already in the 15th century this type of word problem was a traditional type of word problem, quite dissimular from the bulk of word problems in these arithmetics books, wich were explicitly vocational.

Frank J. Swetz (1987). Capitalism & arithmetic. The new math of the 15th century. La Salle, Illinois: Open Court Publishing Company.

• Read the oldest known printed mathematics book, the Treviso arithmetic Larte de Labbacho of 1478, in the English translation by David Eugene Smith, published for the first time in Swetz's book. And see how almost all arithmetic problems in this book turn out to be word problems, even the examples of methods are word problems. The word problem, therefore, is the canonical arithmetic problem.
• For the original - 1478 - text download its pdf larte de labbacho.

Lynn Arthur Steen (2006). Asking the right questions. In Lynn Arthur Steen (Ed.) (2006). Supporting Assessment in Undergraduate Mathematics. The Mathematical Association of America. The chapter itself as pdf. The whole book is online as pdf

Shen Kangshen, John Crossley and Anthony Lun (Trlts, Eds) (1999). The nine chapters on the mathematical art. Companion and commentary. Oxford University Press site & Being: Science Press, price: astronomical.

• The poor reader might also wish to see Paul Dickson and others' site on some problems from the Chinese book.

W. P. Workman, Geoffrey Bosson (Revision) (1965). The tutorial arithmetic (with answers). London: University Tutorial Press.

• The first edition is from 1905. The sixth is mainly the same as the fourth from 1947.
• from the preface: "From an examination point of view it meets the needs of candidates for Matriculation, Civil Service, Professional Entrance, and other examinations of similar standard."
• Contains lots and lots of exercises, answers too. Terrible word problems.
• This book illustrates what mathematics was used for in the United Kingdom in those—and earlier—days: selection. It is quite obvious that the candidates should be able to do their arithmetics fast and faultless. If some dreamer might still think the purpose of arithmetics/mathematics to be to learn to 'think,' this book will put an end to those illusions.
• p. 378: "A can do a piece of work in 3 days, and B in 5 days. How long will they take to do the same when working together?" No, the answer is not 8 days, of course. And neither is it 4 days. If you think it is 2 days: wrong. Do not ask critical questions on the kind of 'work' meant here: this is arithmetics, isn't it?
• The book really is fantastic. This kind of mathematics, however, is mental torture.

Een snellere oplossing van dit absurde probleem is gewoon twee of drie aantallen proberen. De opgave vertelt ook heel wat over de samenleving van die tijd, overigens. Het boek van Van Bemmelen bestaat voor een groot deel uit dit abjecte type opgaven, en zal daarin ongetwijfeld niet echt afwijken van wat elders aan tienerpesterijen werd bedacht en gedrukt. Maar ja, de filosofie was dat die pesterij juist vormend werkte, en wie er niet tegen kon moest vooral liever weggaan.

A. van Bemmelen (1817/1818). Lessen over de algebra of stelkunst, ten gebruike der Latijnsche scholen. 's-Gravenhage, bij de Erven J. Allart.

John F. Readence and David W. Moore (1983). Why questions? A historical perspective on standardized reading comprehension tests. Journal of Reading, 26, 306-313.

• woordproblemen
  
  "We planted three trees in a row. The first one was nine feet tall and the last one was three feet shorter than the first one. The middle one was two feet taller than the last one. How tall was the middel one?"

  uit The Kansas Silent Reading Test. F. J. Kelly (1916). The Kansas Silent Reading Tests. Journal of Educational Psychology, 7, 63-80. Zoals geciteerd in Readence en Moore (1983).

  Interessante beschouwing over de begintijd van gestandaardiseerd testen op tekstbegrip, dat is: circa 1920 in de VS. Met voorbeelden. Drie typen vragen waren prominent: (exact) reproduceren van gelezen tekst, oplossen van woordproblemen (solving written puzzles) waaronder dus ook rekenopgaven, en vragen beantwoorden. Heel interessant dat woordproblemen hier bedoeld zijn om tekstbegrip toetsen, niet rekenen.

Bias: general

If some irrelevant aspect of an item causes it to be more difficult for a particular group of students, that item is biased for that of students.

The problem with the above definition of bias (for example in Bügel and Sanders, 1998, p. 1) is that aspects being 'irrelevant' is a subjective demarcation. In particular for the use of word problems, there is the important issue of word problems themselves being irrelevant to whatever it is that arithmetics should be. See Verschaffel, Greer and De Corte, 2000 for the relevant research literature. The problem gets even more serious, considering how bias in actuality is being tested for.

The bias of individual test items is determined by comparing it to the overall test result. In the case of learners with Dutch as a second language, this subgroup and the rest of the studnets scoring equally high on the test as a whole, should have approximately the same mean score on all of the test items separately. This is the DIF procedure (Holland and Wainer, 1993) as practiced by the Dutch institution Cito (Bügel and Sanders, 1998, p. 3).

The problem with the method is that is gets more insensitive to bias detection the more items 'really' are biased, i.e. may be proven to be biased by an independent procedure.

This is exactly what might be the case for the arithmetics test of the Cito Basistoets, at the end of primary education: most of the items are word problems. Therefore, what I am looking for in this web page is proof of Cito doing its utmost to show this danger not to exist in the case of the Cito Basistoets. For the time being, it must be feared that Cito has not adressed the issue at all, given the results observed by a student of Paul Leseman (see Leseman, 2007). A recent dissertation by Tamara van Schilt seemingly addresses the issue head on, yet does not seem to be conclusive.

Denny Borsboom (2006). The attack of the psychometricians. Psychometrika, 71, 425-440. pdf

• Replieken van Kane, Heiser, Clark en Sijtsma, en dupliek van Borsboom. Voor de pdf's zie de site van Borsboom.
• p. 427: "In 1997 Millsap published an important paper in Psychological Methods on the relation between prediction invariance and measurement invariance. The paper showed that, under realistic conditions, prediction invariance does not support measurement invariance. In fact, prediction invariance is generally indicative of violations of measurement invariance: if two groups differ in their latent means, and a test has prediction invariance across the levels of the grouping variable, it must have measurement bias with regard to group membership. Conversely, when a test is measurement invariant, itwill generally showdifferences in predictive regression parameters. One would expect a clearly written paper that reports a result, which is so central to group comparisons, to make a splash in psychology. If the relations between psychometrics and psychology were in good shape, to put forward invariant regression parameters as evidence for measurement invariance would be out of the question in every professional and scientific work that appeared after 1997.
  So what happens in psychology? In 1999, two years after MillsapÕs paper appeared, the American Psychological Association is involved in the publication of the 1999 Standards for Educational and Psychological Testing (AERA, APA, & NCME, 1999). With regard to the problem of test bias, we read: Ò[u]nder one broadly accepted definition, no bias exists if the regression equations relating the test and the criterion are indistinguishable for the groups in questionÓ (AERA, APA, & NCME, 1999, p. 79). Another influential source, the Principles for the Validation and Use of Personnel Selection Procedures (Society for Industrial Organizational Psychology, 2003), quite explicitly favors predictive invariance over measurement invariance as a method for investigating test bias (pp. 31Ð34). Perhaps, then, it should not come as a surprise that the fact, that prediction invariance is hardly ever violated, leads Hunter and Schmidt (2000, p. 151) to conclude that Òthe issue of test bias is scientifically dead.Ó Unfortunately, on the basis of MillsapÕs work, one would rather say that, in the absence of violations of prediction invariance, the issue of test bias is in acute need of scientific scrutiny."

Tamara van Schilt-Mol (2007). Differential Item Functioning en Itembias in de Cito-Eindtoets Basisonderwijs. Oorzaken van onbedoelde moeilijkheden in toetsopgaven voor leerlingen van Turkse en Marokkaanse afkomst. Dissertation Tilburg University, commercial edition: Uitgeverij Aksant

• Ik heb het proefschrift nog niet in handen gehad. NRC Handelsblad publiceerde er op 14 juli een stuk over (p. 41). Copromotor is Henny Uiterwijk, van het Cito, dat als mede-opdrachtgever? fungeerde.
• Ik meen uit het stuk in de NRC op te kunnen maken dat Van Schilt de kennelijke Cito-lijn volgt dat opgaven die qua format tot de stof beschouwd worden te horen, daardoor op zich niet biased zijn. Wat voor redactiesommen een probleem is, uiteraard, ik ben benieuwd hoe zij daarmee omgaat. Dan houd je inderdaad alleen opgaven over die 'toevallig' biased uitpakken, zoals die aardige opgave over bij een hittegolf smeltend asfalt. Jongeren die ieder jaar hun tweede vaderland Turkije of Marokko bezoeken, geven ongetwijfeld 'hittegolf' een andere lading dan autochtone le erlingen doen, molentjes of geen molentjes op de achtergrond.

Denny Borsboom (2006). When does measurement invariance matter? Medical Care, 44, S176-S181. pdf

• p. S176: "The theoretical definitions of measurement invariance and bias are very general, and apply to different models, such as item response theory (IRT) and factor models, in roughly the same way.10,11 This does not hold for the empirical methods available for testing measurement invariance. In the past decades, psychometricians working on measurement invariance have produced many different statistical techniques to assess differential item functioning (DIF). These techniques usually employ different statistical assumptions, for instance, regarding the form of the relation between latent and observed variables and the shape of the population distribution on the latent variable, and employ different modeling strategies as well as selection criteria for flagging items as biased. For this reason, it is difficult to assess the consequences of choosing a particular technique; moreover, it is not always clear to what extent the choice of technique makes a difference with respect to the diagnosis of meaurement invariance and bias in applied situations." Borsboom here will try to unravel the knot, using as a case a set of papers analyzing the Mini-Mental State Examination for measurement invariance using different methods.

K. Bügel en P. F. Sanders (1998). Richtlijnen voor de ontwikkeling van onpartijdige toetsen.. Arnhem: Cito. pdf

• Het Cito staat overname van teksten uit deze richtlijnen toe bij volledige vermelding van de bron. Prima, Cito.
• p. 1: "Onderzoek naar de vraag of de geringere toetsprestaties van allochtone en vrouwelijke leerlingen wellicht het gevolg zijn van onbedoelde kenmerken van de items of opgaven heeft ook in Nederland plaatsgevonden. Uit dat onderzoek bleek dat sommige opgaven moeilijker waren voor allochtone dan voor autochtone leerlingen als gevolg van hun andere culturele en linguïstische achtergrond. Ook bleek dat sommige opgaven moeilijker waren voor meisjes dan voor jongens als gevolg van hun andere interesses en achtergrondkennis. Het verschijnsel dat een verschil in moeilijkheidsgraad van een opgave voor verschillende groepen leerlingen veroorzaakt wordt door aspecten van de opgave die niet relevant zijn voor wat de opgave beoogt te meten, wordt in de testliteratuur 'itembias' genoemd." In Nederland: vraagpartijdigheid, of gewoon partijdigheid.
• p. 3: "Er is sprake van itembias als verschillen in prestaties op een item of opgave veroorzaakt worden door kenmerken van de opgave die niet relevant zijn voor wat de opgave beoogt te meten. Itembias impliceert dat de opgave niet dezelfde vaardigheid bij de onderscheiden groepen leerlingen meet."
• p. 7: Wanneer 'talige' contexten worden gebruikt, blijkt een grotere kans op bias te bestaan. Niet alleen vanwege de verschillen in kennis en interesse van de leerlingen ten aanzien van die contexten, maar ook door verschillen in taalkennis en leesvaardigheid van de kandidaten. In dat geval kan bias optreden, wanneer taalkennis of leesvaardigheid niet het onderwerp van de toets is. Wees daarom zeer kritisch bij het gebruik van talige contexten wanneer geen taalvaardigheid getoetst moet worden."
• p. 8: "Functie van contexten
  Men dient zich bij alle toetsen af te vragen wat de functie is en wat het effect zou kunnen zijn van de zinnen of de tekstjes die worden gebruikt of die worden toegevoegd aan de eigenlijke vraagstelling. Zijn de contexten nodig en zijn ze functioneel? Wanneer men context- of uitgangsmateriaal gebruikt bij de vraagstelling, heeft men minder controle over de vaardigheden die men toetst. Alleen al bij tekstbegrip spelen verschillende vaardigheden een rol, zoals achtergrondkennis, eigen opvattingen en taalkennis."
• p. 9: "Aanbeveling
  Bij vakken als rekenen of aardrijkskunde, doet men er goed aan zoveel mogelijk dezelfde termen te gebruiken als in schoolboeken en examenprogramma's. Bij de vraagstelling dient men te streven naar uniformiteit en duidelijkheid. Probeer het woordgebruik in de vraagstelling zoveel mogelijk te standaardiseren. Dus niet bij rekenopgaven woorden als uitkomst, oplossing, resultaat, antwoord e.d. door elkaar gebruiken, als men er hetzelfde begrip mee bedoelt. Dit kan voor iemand die niet alle nuances van het Nederlands beheerst, zeer verwarrend zijn. Vermijd variatie om stijlredenen."
• p. 9 en 10 een lijst hinderpalen voor mnder taalvaardige leerlingen, zie de Richtijnen.
• p. 10-11 een aantal voorbeelden van items die Turkse en Marokkaanse leerlingen benadelen (uit Uiterwijk, 1994).

Uiterwijk H. (1994). De bruikbaarheid van de Eindtoets Basisonderwijs voor allochtone leerlingen. Proefschrift. Cito.

Uiterwijk, H., & Vallen, T. (1992). Een toets mag moeilijk zijn, maar niet onbedoeld moeilijk. De toetsesultaten van allochtone leerlingen en de 'itembias'. Tijdschrift voor Onderwijs en Opvoeding, 51, 7, 15-21. Volgens Picarta ook in In:ÊVERNIEUWING; vol.Ê51 (1992), afl.Ê7, pag.Ê15-18 / 1992??? (Allochtone leerlingen scoren gemiddeld slechter op toetsen dan autochtone. Door alert te zijn op het taalgebruik in toetsen, kan dit scoreverschil kleiner worden.)

Uiterwijk, H.; Vallen, T. Onderzoek naar bias voor allochtone leerlingen in de Cito-Eindtoets Basisonderwijs / In:ÊPEDAGOGISCHE STUDIèN; vol.Ê74 (1997), afl.Ê1, pag.Ê21-32 / 1997

Uiterwijk, H.; Vallen, T. Talige bronnen van itembias voor allochtone leerlingen in de eindtoest basisonderwijs / In:ÊSpiegel; vol.Ê12 (1994), afl.Ê2, pag.Ê9-29 / 1994 Uiterwijk, H. , & Vallen, T. (1996). Hoe worden toetsen minder partijdig voor allochtonen? MOER, I 75-84. Over Eindtoets Basisonderwijs begrijp ik i. h. b. eq bias - Zie dan ook het proefschrift van Henny Uiterwijk

L. Mulder, J. Roeleveld en H. Vlerke (2007). Onderbenutting van capaciteiten in basis- en voortgezet onderwijs. Den Haag: Onderwijsraad. Studie. pdf

P. P. M. Leseman (2007). Achterstandenbeleid: Voorbij de voor- en vroegschoolse periode. In P. A. H. van Lieshout, M. S. S. van der Meij en J. C. I. de Pree: Bouwstenen voor betrokken jeugdbeleid (p. 113-130). WRR Wetenschappelijke Raad voor het Regeringsbeleid. Amsterdam University Press. De pdf is beschikbaar op de site van de WRR.

• p. 124: "Een tweede kanttekening is dat de meest gebruikte meetinstrumenten voor advisering en toelating tot het voortgezet onderwijs, zoals de Cito Eindtoetsen Basisonderwijs die op 80 procent van de basisscholen gebruikt worden, een groot beroep doen op taal- en leesvaardigheid, ook als het gaat om de leerstofgebieden rekenen-wiskunde en wereldoriëntatie. Dit is vooral nadelig voor leerlingen met een andere thuistaal. Onderzoek laat zien dat de scores van allochtone tweetalige leerlingen op rekenen-wiskunde-toetsen van het Cito voor ongeveer de helft afhangen van hun taal- en leesvaardigheid in het Nederlands (veel opgaven zijn conform de methodiek van realistisch rekenen redactie- en contextsommen Ð sommen die ingebed zijn in een verhaal) en voor de andere helft van specifieke vaardigheid in rekenen-wiskunde (Prenger 2005). Wanneer voor verschillen in taal- en leesvaardigheid wordt gecorrigeerd, doet de gemiddelde Turkse of Marokkaanse leerling het eerder beter dan slechter in rekenen-wiskunde dan zijn of haar Nederlandse klasgenoot (Van Weegh 2005). Het is wenselijk selectie- en toewijzingsprocedures voor vervolgonderwijs te bieden die meer recht doen aan de sterke punten van achterstandsleerlingen.3 Ook de selectie in het brugjaar van het voortgezet onderwijs op basis van het gemiddelde rapportcijfer voor de kernvakken is vertekend naar taal- en leesvaardigheid, vanwege de dominantie van alfa- en gamma-kernvakken in het brugjaar. Een andere balans tussen vakken Ð meer natuur en techniek Ð en beoordeling van de capaciteiten van leerlingen met behulp van toetsen die cultuur-eerlijk zijn, is ook hier gewenst.
  

  Prenger, J. (2005) Taal telt! Een onderzoek naar de rol van taalvaardigheid en tekstbegrip in het realistisch wiskunde onderwijs, Groningen: proefschrift rug.
  

  Weegh, J. van (2005) Schooltaal en realistisch rekenen, Utrecht: Universiteit Utrecht, Masterthesis Orthopedagogiek."

Hessen, D.J. Differential item functioning: Types of DIF and observed score based detection methods. Amsterdam: University of Amsterdam, 2003 (promotores: G.J. Mellenbergh & K. Sijtsma).

• I have not yet found this one.

P. W. Holland and H. Wainer (Eds) (1993). Differential item functioning. Erlbaum. questia

• Some of the contributions are the following:
• Nancy S. Cole: History and Development of DIF
• Kathleen A. O'Neill and W. Miles McPeek: Item and Test Characteristics That are Associated with Differential Item Functioning
• Alicia P. Schmitt, Paul W Holland, and Neil J. Dorans: Evaluating Hypotheses About Differential Item Functioning
• Charles Lewis: A Note on the Value of Including the Studied Item in the Test Score When Analyzing Test Items for DIF
• Michael Zieky: Practical Questions in the Use of DIF Statistics in Test Development
• Robert L. Linn: The Use of Differential Item Functioning Statistics: A Discussion of Current Practice and Future Implications
• Gregory Camilli: The Case Against Item Bias Detection Techniques Based on Internal Criteria: Do Item Bias Procedures Obscure Test Fairness Issues?
  • This one is right on track:
  • p. 398: Within the limited scope of differential item functioning, it is argued later that DIF techniques may detect test bias only when most items on a test do not create similar errors in the scores of certain examinees, and this is rarely known in practice without performing a validity study. Some argue that differential item functioning and test bias can be linked through expert judgment, but this process has not yet been demonstrated to be reliable. Thus, the degree to which item bias methods improve fairness by reducing test bias is probably quite modest.
  • Cites Mellenbergh (1989, p. 139): In many applications the user is satisfied with the detection of items that are biased with respect to certain groups. The items are removed from the test and it is claimed that the test is fair with respect to the groups that have been investigated. But, an important question remains: Why are these items biased? The answer to this question is not only of academic interest, but also has relevance for test construction. If the biasing factors are known the test constructor can prevent the occurrence of biased items.

Bias: Gender

Bias: Class

Barry Cooper (2007). Dilemmas in Designing Problems in ÔRealistic' School Mathematics: A Sociological Overview and some Research Findings. Philosophy of Mathematics Education Journal No. 20 (online). pdf

• In how many ways can:
  6 prefects be chosen from 9 boys?
  4 clerks be chosen from 15 for promotion?
  A committee of 3 be chosen from 10 aldermen?
  3 books be chosen from 7 different books?
  11 players be chosen from 15 boys? É.
  
  Taken from Porter's (ca 1965) Further elementary analysis
  This, of course, is the misuse of the word problem that by now will be thoroughly familiar. The 'context' is as thoroughly irrelevant.
• 'Tom compares the weight of apples, bananas and pears. He finds that seven pears weigh the same as four bananas and five bananas weigh the same as six apples.'
  
  - which single piece of fruit weighs the most?
  - which single piece of fruit weighs the least?
  
  Exemplar item provided by England's Qualification and Curriculum Authority and discussed in The Times Educational Supplement of November 17, 2000
  Cooper analyzes two possible solutions, one as intended by the QCA, the other solution might be: 'This problem is insoluble, unless we assume that all of the bananas (and similarly all of the pears, and all of the apples) are identical to each other in weight. It must be a trick question, and, as one of those thought by my teachers to be amongst the top ten per cent in ability, I must be expected to spot this! I'll say there's no unique solution.' Read the comments by Cooper, and have a laugh at the simple-mindedness of the item designer in this case of an item especially meant to test 'deeper thinking' of the top 10% of students.

Barry Cooper and Tony Harries (2005). Making sense of realistic word problems: portraying working class 'failure' on a division with remainder problem. International Journal of Research & Method in Education, 28, 147-169.

• abstract Children of 10-11 years of age were interviewed while undertaking a range of mathematic problems, most of which embedded mathematical operations in textually represented realistic settings. One problem, concerning a lift moving people in the morning rush, comprised a division-with-remainder problem in which children are required, conventionally, to introduce a particular realistic consideration in order to produce the 'correct' answer. Another problem was an extended version of this, requiring children to comment on four competing answers produced by other children. Analysis of responses to the first of these two problems demonstrated that it was working class children who were especially likely to fail to produce the conventionally required answer. Having shown this, the paper concentrates on portraying the ways in which 'failing' working class children interpret and respond to the two problems. Our purpose here is to contribute to understanding the difficulties working class children appear to have in negotiating the demands of contextualized problems.
• From the Discussion: "Our data suggest that, notwithstanding the implementation of the NNS, many working class children, when faced with a contextualized division with remainder item, currently fail to 'identify and use appropriate operations'. In particular, they initially fail to choose division combined with a realistically grounded rounding up over either an inappropriate multiplication or a division without rounding up. We have no data on the approach to teaching mathematics employed by the teachers of the children in our sample. However, given the recent stress on meeting very demanding government targets for national assessment test scores, it is probable, especially given the atomized nature of the structure of objectives for the NNS, that these children have been taught to use arithmetic operations largely out of realistic contexts. "
• The lift problem is well known in the research literature, and as such present in Verschaffel a.o. 2000.
• The article is part of a sample issue, see the Taylor & Francis website [May 2007], otherwise mail me

Second language

Word problems must be fair to students entitled to sit the test, yet speaking (reading) the language of the word problems as a second or foreign language.

Frank Kok (1988). Vraagpartijdigheid. Methodologische verkenningen. proefschrift Universiteit van Amsterdam.

• Hfdst 4: Onderzoek naar bias tegen leerlingen van buitenlandse afkomst. Onder andere voor de rekentoets in de Cito Basistoets.

Patricia Dunkel, Grant Henning and Craig Chaudron (1993). The Assessment of an L2 Listening Comprehension Construct: A Tentative Model for Test Specification and Development. The Modern Language Journal, 77, 180-191. pdf JStor

Jay Mathews (2003). The Bias Question: In a Surprising Challenge to the SAT's Reputation as an Unbiased Measure of Student Learning, One Researcher Has Argued That Blacks Do Better Than Matched-Ability Whites on the Harder Questions of the SAT-Something He Believes Their Scores Should Reflect. The Atlantic Monthly, 292 #4, 130+. questia

• The topic of this article is very much to the point. It is about the SAT's wording of questions, especially the analogies. The critical researcher here is Roy O. Freedle, in 1998 retird from ETS. The technique used to check for bias is the DIF technique. Of couse, the article itself is a journalistic one, use it to find the underlying scientific publications, starting with the one by Freedle:
• Roy O. Freedle (2003). Correcting the SAT's ethnic and social-class bias: A method for reestimating SAT scores. Harvard Educational Review, spring issue abstract
• Editorial? (2003). A Strange but Common-Sense Strategy to Lower the SAT Racial Scoring Gap. The Journal of Blacks in Higher Education, No. 41. (Summer, 2003), p. 22-23. JSTOR "But on the other hand, Freedle says, "It is well known that common words often have many more semantic (dictionary) senses than rare words. Many high-frequency analogy words such as 'horse' and 'snake' have many dictionary entries. Various researchers have hypothesized that each cultural group assigns its own meanings to such common words to encapsulate everyday experience in its respective culture. Thus, individuals from various cultures may differ in their definitions of common words. Communities that are purportedly speaking the 'same' language may use the same words to mean different things. . . . Thus, the cultural and lexical ambiguity that African Americans are hypothesized to experience when responding to many easy verbal items offers one promising explanation for why they do worse. Hard verbal items often involve rarely used words that are hypothesized to have fewer potential differences in interpretation across ethnic communities."
• Editorial? (2003). The Freedle study: Shame on ETS. The Journal of Blacks in Higher Education, No. 41. (Autumn, 2003), p. 93. JSTOR "The Educational Testing Service had stuffed in its drawer a provocative study on racial bias in standardized testing. Now that the research is out of the bag, ETS claims that the research isfundamentally flawed." "An important part of the report is that, according to Freedle, black students do far better relative to whites on the most difficult SAT questions than they do on the easy questions. If ETS were to include only the hard questions on the actual SAT, according to Freedle, the black-white racial scoring gap could be reduced significantly, maybe by as much as 100points"

language

Irene T. Miura (1987). Mathematics achievement as a function of language. Journal of Educational Psychology, 79, 79-82.

Miriam Ben-Yehuda, Ilana Lavy, Liora Linchevski and Anna Sfard (2005). Doing wrong with words: What bars students' access to arithmetic discourses. Journal of Research in Mathematics Education, 36, 176-247. doc

• abstract To investigate mechanisms of failure in mathematics, we adopt the communicational approach to cognition, according to which thinking is a special case of the activity of communication and learning mathematics is as an initiation to a certain type of discourse. In the search for factors that impede studentÕs participation in arithmetic communication, we examine the arithmetical discourses of two 18-year old girls with long histories of learning difficulties. In these analyses, we decompose what usually counts as basic arithmetical operations into a large number of even more elementary activities. StudentsÕ self-referential remarks and narratives that convey their image of themselves as participants of arithmetic discourse are examined as well. As a result of this high resolution, context-sensitive analysis, the arithmetic skills of our two interviewees, practically indistinguishable according to standard achievement measures, turn out to be different in a number of important ways. The detailed arithmetical discourse profiles (ADP) of the two studentsÕ drawn in this article help us substantiate the following two claims: (1) Considering the multiplicity of ways in which any arithmetic task can be performed, almost any person may become a skillful participant of arithmetical discourse, provided, first, that a discursive mode is found that makes the best of this personÕs special strengths and bypasses her particular weaknesses, and second, that in the process of teaching, the general sociocultural context of learning is taken into account as having a central role in enabling or barring oneÕs access to literate discourses. (2) If this potential for successful participation remains often unrealized, it is not only because of the current, insufficiently developed ways of assessing individual studentsÕ strengths and weaknesses, but also because of such school practices as privileging mathematics over other subjects, invalidating colloquial arithmetic discourse, and using literate mathematical discourses as a general success-predictor.

Nancy C. Jordan (2007). Do words count? Connections between mathematics and reading difficulties. In Daniel B. Berch and Miché M. M. Mazzocco (Eds) (2007). Why is math so hard for some children? The nature and origins of mathematical learning difficulties (Ch. 6). Paul H. Brookes Publishing.

Rodney R. Cocking and Jose P. Mestre (1988). Linguistic and Cultural Influences on Learning Mathematics. Erlbaum. questia

• Rodney R. Cocking and Susan Chipman: Conceptual Issues Related to Mathematics Achievement of Language Minority Children
• Geoffrey B. Saxe: Linking Language with Mathematics Achievement: Problems and Prospects
• Manon P. Charbonneau and Vera John-Steiner: Patterns of Experience and the Language of Mathematics
• Jose P. Mestre: The Role of Language Comprehension in Mathematics and Problem Solving
• Richard P. Durán: Bilinguals' Logical Reasoning Aptitude: A Construct Validity Study
• David E. Myers and Ann M. Milne: Effects of Home Language and Primary Language on Mathematics Achievement: A Model and Results for Secondary Analysis

math disabilities

Yan Ping Xin (2008). The effect of schema-based instruction in solving mathematics word problems: An emphasis on prealgebraic conceptualization of multiplicative relations. Journal for Research in Mathematics Education, 39, 526-551. abstract

regulars

French

German

F. Gärtner (1950). Methodik des Rechenunterrichts.

Dutch

redactiesom, ook bekend onder tal van andere benamingen voor het genre of voor specifieke typen opgaven. Van Gelder (1969, p. 89) noemt: rekenvraagstuk 'd.w.z. opdrachten in taalvorm, die aanleiding geven tot rekenkundige bewerkingen;' kapitaalsom, wegsom, verdeelsom, etcetera.

contextopgave is een rekensom die wordt aangeboden als een 'realistische' situatie, en die situatie kan als afbeelding gegeven zijn, of in tekst beschreven. Het idee en de term context voor rekenopgaven hoort bij realistisch rekenen zoals gepropageerd door het Freudenthal Instituut.

redactiesommen is een term die in de 21e eeuw niet meer zo wordt gebruikt. Een typische redactiesom laat de bovenstaande box zien: uit de dertiger jaren. In de zeventiger jaren nog volop in gebruik in het onderwijs, de vakgroep ontwikkelingspsychologie in Utrecht had het project redactiesommen waaruit o.a. het proefschrift van Miriam Wolters zie hier uit is voortgekomen.

Miriam Wolters (1978). Van rekenen naar algebra. Een ontwikkelingspsychologische analyse. R.U. Utrecht proefschrift.

• Dit is een belangrijk onderzoek, omdat het glashelder uit laat komen dat de manier waarop het basisonderwijs omgaat met redactiesommen niet OK is. Typisch is dat die sommen 'rekenkundig' moeten worden opgelost, niet algebraisch. Dat heeft tot gevolg dat allerlei trucjes en bi specifieke typen redactiesommen passende methoden worden geleerd, in plaats van die ene glasheldere methode die overal op past: de algebraïsche. Het is een oude discussie, die bijvoorbeeld n.a.v. het rapport Bolkestein in de dertiger jaren is gevoerd, en in Rusland in de zestiger en zeventiger jaren (werk van Davydov). Ik heb er (nog) geen zicht op in hoeverre het een actueel thema, ik weet zelfs niet op welke manier redactiesommen in het basisonderwijs anno 2008 typisch worden behandeld, of misschien nauwelijks of niet meer voorkomen (in het PPON-onderzoek zijn waarschijnlijk alleen context-opgaven opgenomen, dat zijn geen echte redactiesommen, maar opgaven voor optellen etc. in een context). Een oud argument ten gunste van rekenkundige oplossingen is dat dat leerlingen er logisch mee leren denken, maar dat argument sneuvelt bij empirisch onderzoek waaruit blijkt dat leerlingen typisch niet in staat zijn om de oplossing voor een nieuw type redactiesom zelf te vinden (algebraïsch zou dat geen probleem opleveren!). Dus dat logisch leren denken is wensdenken van opvoeders. Een ander argument is dat kinderen in de leeftijd voor de basisschool nog niet abstract kunnen denken; dat is typsch een empirisch argument, dat valt dus uit te zoeken, en het blijkt onzin te zijn. Bijvoorbeeld blijkt het mogelijk, en ook Miriam Wolters heef een stukje experimenteel curriculum in de praktijk onderzocht, om leerlingen abstract te laten werken. Per saldo is de conclusie dat het basisonderwijs met zijn redactiesommen de leerlingen en de samenleving lastigvalt met Babylonische methoden, die diezelfde leerlingen in het vhmo met veel moeite moeten afleren ten gunste van algebraïe. Kortom, dit werk is heel belangrijk voor de ontwerper van toetsvragen, ik ga er stevig mee aan de slag.

L. van Gelder (1969). Grondslagen van de rekendidactiek. Een theoretische en practisch-didactische beschouwing over het rekenen in het basisonderwijs. Vijfde druk. Groningen: Wolters-Noordhoff.

• rekenvraagstukje
  
  Moeder gaat naar de kruidenier. Zij moet f 7,84 betalen. Zij betaalt met een biljet van f 10,--. Zij krijgt terug f ....... .
  p. 89: "De moeilijkheden die de leerlingen ondervinden bij het oplossen van vraagstukjes, kunnen ontstaan doordat:
  
  
  1. de kinderen geen verband zien tussen de kwantitatieve gegevens;
  2. de bewerking niet logisch uit de gegevens volgt;
  3. de taal waarin het vraagstuk geredigeerd is, onvoldoende wordt begrepen;
  4. de 'onderwerpen' te ver buiten de belangstelling en de ervaringswereld van de kinderen liggen.
  
  
  Deze moeilijkheden worden niet opgeheven door vroegtijdig oplossingsschema's aan te leren. Dan gaan leerlingen de gewoonten aanleren, die het zelfstandig doordenken van de gegevens belemmeren:
  
  
  • winst: 'dan moet je optellen'
  • verlies: 'dan moet je aftrekken'
  • prijs: 'dan moet je vermenigvuldigen'
  "
• p. 90 het vraagloze vraagstukje
  
  Frans is jarig. Hij trakteert de hele klas op snoepjes en hij mag van zijn moeder zelf de snoepjes kopen." In het vraagloze vraagstukje wordt een bepaalde situatie aangegeven, waarin gerekend kan worden. In tegenstelling tot de rekenvraagstukjes, wordt de gestelde opdracht achterwege gelaten, zodat de kinderen zelf het probleem kunnen uitwerken."

English

historical

German

Dutch

lustighe Vraghen heten redactiesommen in de rekenboekjes in de 16e en 17e eeuw.

lees-rekenvraagstukken is een term die sinds 1937 door Kohnstamm wordt gebruikt voor het nieuwe type redactiesommen dat door het Rapport-Bolkestein is ingevoerd.

• "Op twee manieren heeft het Rapport-Bolkestein verbetering van het rekenonderwijs nagestreefd. In de eerste plaats door toe te staan dat bij de oplossing van rekenvraagstukken in de wiskunde gangbare of soortgelijke afkortingen en verkorte schijfwijzen worden gebruikt, in de twee plaats door een tot dusver ongebruikelijk type redactieopgaven te introduceren. Dit type redactieopgaven is zo opgebouwd dat de eigenlijke denkactiviteiten verlegd worden naar de fase die aan het rekenen (cijferen) voorafgaat. De opgave is een verhaal met een reeks kwantitatieve gegevens waarij een aantal vragen gesteld worden. Om een vraag te beantwoorden moet de leerling uit de reeks kwantitatieve gegevens, die kiezen, welke voor het antwoord op de vraag nodig zijn. (...)
  In Proeve van een leerplan voor het basisonderwijs (1967) komt men terug op het eerste advies uit het rapport Bolkestein. Bij een aantal redactieopgaven is het commentaar in de Proeve: 'In wezen zijn dit meer algebrasommen, die beter opgelost kunnen worden met gebruik van lettergetallen en derhalve beter kunnen blijven rusten tot men in het voortgezet onderwijs zover is' (1967, p. 48). Dit betekent dat Kohnstamms idee om het gebruik van lettersymbolen in het lager onderwijs te bevorderen niet doorgezet wordt."

  Wolters, 1978 p. 15

Proeve van een leerplan (1967). Uitgave: Nutsseminarium.

• Wolters (1978, p. 17) hierover: "Het C.I.T.O. (Centraal Instituut voor Toestontwikkeling) bijvoorbeeld baseert zich wat de rekenopgaven betreft op dit leerplan. In dit leerplan vinden we de vraagstukjes (redactieopgaven) al vanaf het tweede leerjaar."

P. M. van Hiele (1956). Richtlijnen voor een nieuw leerplan rekenen op de lagere school. Purmerend.

• "Wanneer de leerlingen op de middelbare school komen, dan kunnen zij tal van rekenkundige operaties feilloos uitvoeren; in een groot aantal gevallen blijkt echter dat zij niet weten, wat zij uitrekenen, omdat vrijwel ieder begrip van wat ze doen ontbreekt. De zo geleerde vaardigheden zijn voor een deel spoedig weer verleerd. Door hun onjuiste instelling ten opzichte van de leerstof zijn de leerlingen bovendien weinig geneigd tot verbetering van hun begripsbasis, terwijl zij bij het behandelen van nieuwe leerstof hun onjuiste houding voortzetten, steeds maar weer vragen naar het kunstje, dat zij menen dat van hen verlangd wordt."

  zoals geciteerd in Wolters, 1978 p. 16

Ph. Kohnstamm (1934). De aansluiting tussen lager en middelbaar onderwijs. G. Het rekenen. Pedagogische Studiën. Ook afgedrukt in Keur uit het didactisch werk van Prof. Dr. Ph. Kohnstamm, 1952, p. 235

• Bij de redactiesom in bovenstaande box: (p. 386-387) "Nu leert de 'rekenkunde' dat men moet gaan 'stellen', maar zo dat men vooral niet 'stelkundig' stelt. Stel Jan heeft 5 knikker dan heeft Klaas er 9, samen veertien, dus Piet 2. Dan zou Piet echter slechts 3 minder hebben dan Jan. Dus (!) moet Klaas 36, Jan 20 en Piet 8 knikkers hebben.
  Naar een heel ander recept dient echter gewerkt te worden als gegeven is, in stede van Klaas heeft 1 4/5 zoveel als Jan, dat Klaas 16 meer heeft dan Jan. Dan kan men niet meer 'stellen', want dan loopt men vast. Stel Jan heeft 6 knikkers, dan heeft Klaas er 22, dus Piet 4. Maar nu gaat de regel niet door. Waarom niet? Dat kan alleen duidelijk gemaakt worden aan iemand die de bouw van een stel van n kineaire vergelijkingen met n onbekenden volkomen doorziet. Haar het recept luidt nu, dat ik het totaal der knikkers moet uitdrukken in dat van één der spelers. Jan en Klaas hebben 7 maal zoveel knikkers als Piet; Jan, Piet en Klaas hebben dus 8 maal zoveel knikkers als Piet. Jan heeft 12 knikkers meer dan Piet. Klaas nog 16 meer dus 28 knikkers meer dan Piet. Met zijn drieën hebben ze dus 3 maal zoveel als Piet en daarbij nog 40 knikkers. Ook hebben ze 8 maal Piets knikkers. 5 maal Piets knikkers is dus 40 knikkers. Het moet voor onbevooroordeelde duidelijk zijn, dat hier in wezen niets anders geschiedt dan in een lange omhaal, van woorden neer te schrijven, wat de wiskundige kort en kernachtig, met vermijding van iedere overtolligheid aldus uitdrukt.
  
      J + K = 7P     K = J + 16     P = J - 12, dus
      J + (J + 16) = 7(J - 12) = 7J - 84
      5J = 100
      J = 20
  
  Behalve door haar kortheid en nauwkeurigheid onderscheidt zich deze notatie ook door haar toepasselijkheid in alle gevallen, waarover onze rekenboekjes handelen. Welke logische vorming kan er nu in schuilen, dat men de blik van het kind niet op deze algemeenheid richt, maar het verwart door een onoverzichtelijke veelheid van 'oplossingsmethoden' terwijl één overal toereikend is?" [zoals geciteerd in Wolters, 1978, p. 75-76]

French

English

Bruce Hedman (2000). Colin Maclaurin's Quaint Word Problems. The College Mathematics Journal, 31,, 286-289. pdf JStor

• Colin Maclaurn (1698-1746), author of a 'Treatise in algebra,' left some notebooks containing a lot of word problems. Hedman presents some of them, without much ado. Be prepared for no surprise at all: his prolems look very much like those of today, or those of the Greeks, for that matter.

links

Dutch

French

English

  http://www.benwilbrink.nl/projecten/wordproblems.htm