http://www.benwilbrink.nl/projecten/contexten.htm
Dit is een container-pagina over contexten. Het brede thema bestaat ook uit af te bakenen subthema’s, zoals het opstellen van een rekenmodel of een wiskundig model bij een gegeven probleemsituatie. Voor dit laatste onderwerp zie model.htm.
Contexten zijn nauw gebonden aan stromingen zoals het constructivisme — waartoe ook het relatisch rekenen behoort — en situated learning. Aanpalende percelen zijn er ook, zoals die van ‘authentiek’ onderwijs en toetsing. De aanhalingstekens wijzen op de dubieuze claim dat er zoiets bestaat als authenticiteit. Het omstreden karakter van heel dit cluster van nieuwlichterij is uitstekend uit de doeken gedaan door John Anderson, Lynn Reder en Herbert Simon in artikelen gepubliceerd in 1996, 1998 en 2000, zie ook mijn pagina’s over transfer, en over de motie Dijkgraaf - Van der Ham om gebruik van rekenmachines in het onderwijs terug te dringen.
Anderson, J. R., Reder, L. M. & Simon, H. (1996). Situated learning and education. Educational Researcher, 25: 5, 5-11. pdf
Anderson, J. R., Reder, L. M. & Simon, H. (1998). Radical constructivism and cognitive psychology. In D. Ravitch (Ed.) Brookings papers on education policy 1998. Washington, DC: Brookings Institute Press. pdf
Anderson, J. R., Reder, L. M., & Simon, H. A. (2000). Applications and misapplications of cognitive psychology to mathematics education. Texas Educational Review, 1, 29-49. pdf
Contexten zijn om tal van redenen belangrijk voor het programma van realistisch rekenen. De GGD is waarschijnlijk het begrip ‘transfer’, zie bijvoorbeeld Carraher & Schliemann (2002).
David Carraher & Analúcia D. Schliemann (2002). The Transfer Dilemma. The Journal of the Learning Sciences, 11, 1-24. abstract
Helen Oughton (2009). A willing suspension of disbelief? ‘Contexts’ and recontextualisation in adult numeracy classrooms. Adults Learning Mathematics—An International Journal, 4, 16-31.
( . . . ) one of the issues our newly trained teachers are going to face in their schools: ‘seasoned’ teachers who have always done it the ‘old’ way and who believe that it is still the best way despite mounting evidence that the three significant aspects of mathematics education: coherence, reasoning and precision are woefully missing from the standard math textbooks and curricula that teachers are using everyday (Wu, 2007).
blz. 38
Barry Cooper & Máiréad Dunne (2000). Assessing Children’s Mathematical Knowledge. Social class, sex and problem-solving. Open University Press. Ch 1 Overview pdf
K. P. E. Gravemeijer, G. Bruin-Muurling & M. van Eijck (2009). Aansluitingsproblemen tussen primair en voortgezet onderwijs — geen doorgaande lijn voor het vermenigvuldigen van breuken. Panam-Post pdf.
Het blijkt dat opgaven en voorbeelden in de basisschoolmethoden aansturen op verschillende rekenprocedures voor verschillende getalcombinaties, terwijl de havo/vwomethoden al snel starten met één algemene regel voor alle mogelijke gevallen (‘teller keer teller en noemer keer noemer’). Bovendien blijken de basisschoolprocedures sterk gebonden aan contexten, waardoor de leerlingen in het algemeen niet met breuken als onbenoemde, op zichzelf staande, getallen rekenen, maar met benoemde contextgebonden getallen. In het voortgezet onderwijs wordt echter al snel op het niveau van de onbenoemde getallen gerekend.
Ayesha Ahmed & Alastair Pollitt (2007): Improving the quality of contextualized questions: an experimental investigation of focus, Assessment in Education: Principles, Policy & Practice, 14, 201-232. abstract
Saskia van Dantzig, Antonino Raffone & Bernhard Hommel (2011). Acquiring contextualized concepts: A connectionist approach. Cognitive Science, 35, 1162-1189. concept, abstract
Een mooie gelegenheid voor wie eens out-of-the-box wil denken over contexten en hun mogelijke betekenis. Ik heb er even oppervlakkig naar gekeken. Mijn eerste associatie is dat dit werk van Van Dantzig wijst op de mogelijkheid dat rekenen-in-contexten kan leiden tot begrip van rekenen dat gebonden is aan contexten, daar dus niet vrij van kan komen. Het terrein waarop rekenonderzoekers hier direct mee te maken hebben, is dat van onderzoek naar zin en nut van het gebruiken van concrete materialen (blokken, staafjes, telramen, bussen en passagiers) in aanvangend rekenonderwijs. Maar daar houdt het dus niet op: ook de contextopgaven voor eindexamenkandidaten zouden wel eens in deze gevarenzone kunnen liggen.
A. Susan Jurow, Rogers Hall & Jasmine Y. Ma (2008). Expanding the disciplinary expertise of a middle school mathematics classroom: Re-contextualizing student models in conversation with visiting specialists. The Journal of the Learning Sciences, 17, 338-380. abstract
Dave Pratt & Richard Noss (2002). The microevolution of mathematical knowledge: The case of randomness.. The Journal of the Learning Sciences, 11, 453-488. abstract
Kenneth R. Koedinger & Mitchell J. Nathan (2004). The Real Story Behind Story Problems: Effects of Representations on Quantitative Reasoning. The Journal of the Learning Sciences, 13, 129-164. abstract
Mika Munakata (2011). Context-based exercises in logic: to park or not to park, ’tis the question. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 42, 649-657.
Amusant. Nee, geen empirisch onderzoek (behalve het verzamelen van fotomateriaal . . . ). Het zal best goede oefening met waarheidstabellen geven, vermoed ik.
Jean Lave (1988). Cognition in practice. Mind, mathematics and culture in everyday life. Cambridge University Press.
J. Joy Cumming & Graham S. Maxwell (1997). Contextualizing authentic assessment. Assessment in Education, 6, 177-194. pdf
Pauline Vos & Klaas Bos (2001). Nederlandse leerlingen scoren opvallend goed op internationale toets. Nieuwe Wiskrant. Tijdschrift voor Nederlands Wiskundeonderwijs, 20(3), pp. 29-37.pdf
( . . . ) Nederland staat bijna onderaan in tabel 3, direct onder Vlaanderen, waar het wiskundeleerplan veel minder contextrijk is. Hiermee geven veel van onze leerlingen dus aan dat ze weinig alledaagse zaken in hun onderwijs herkennen, zowel voor wiskunde als voor natuur/scheikunde. Het is mogelijk dat de realistische contexten voor de leerlingen geen dagelijkse praktijkvoorbeelden zijn. Wellicht ook blijven de contextrijke opgaven uit de schoolmethodes op zekere afstand en ontstijgen de kleurrijke foto’s van bijvoorbeeld verpakkingsmaterialen het boek niet. Dat de meeste Nederlandse wiskundeleraren bij dergelijke hoofdstukken niet snel aan de leerlingen vragen om zelf doosjes van huis mee te nemen, heeft hier waarschijnlijk mee te maken. Gevraagd naar commentaar, zei een leraar hierover: ‘Als je van som naar som gaat, wie denkt er dan diep na over elke context, dat kost maar tijd.’”
Adri Dierdorp, Arthur Bakker, Harrie Eijkelhof & Jan van Maanen (2011). Authentic Practices as Contexts for Learning to Draw Inferences Beyond Correlated Data. Mathematical Thinking and Learning, 13, 132-151. abstract
Dit is onderzoek met 12 leerlingen van 16 en 17 jaar, dus waarschijnlijk niet iets dat onderzoek mag heten. Ik heb het diagonaal doorgenomen: mogelijk is het een mooi prototype van het ontwikkelingsonderzoek dat de Freudenthal-groep graag doet (de auteurs presenteren het nadrukkelijk als design research). Ik vind het idee van authentiek materiaal voor gebruik in de les altijd wel aantrekkelijk, en ben dan benieuwd wat ervan komt. Op voorhand heb ik het idee dat zoiets alleen kan slagen wanneer de leerlingen al redelijk zijn voorbereid, zodat het werken aan een authentiek probleem, of iets dat daar dicht bij in de buurt komt, kan dienen om de beheersing van de stof te bevestigen en te verdiepen. Ik krijg niet de indruk dat iets dergelijks in dit onderzoekje aan de orde was: zoals bij de Freudnethal-groep gebruikelijk zal het ingewikkelde begrip correlatie in feite tegelijk met het onderzoekje zijn geïntroduceerd, evenals dat van regressie. Even checken: de paragraaf over voorkennis van de studenten lijkt mijn vermoeden te bevestigen, anders hadden de auteurs wel geschreven dat de jongelui al een stevige zij het abstracte greep op correlatie en regressie hadden.
Katie Makar & Dani Ben-Zvi (2011): The Role of Context in Developing Reasoning about Informal Statistical Inference, Mathematical Thinking and Learning, 13:1-2, 1-4. (Inleiding op het themanummer over contexten en statistiekonderwijs, met daarin o.a. het art. van Dierdorp e.a.)
Nicole M. McNeil, Aaron Weinberg, Shanta Hattikudur, Ana C. Stephens, Pamela Asquith, Eric J. Knuth & Martha W. Alibali (2010). A Is for Apple : Mnemonic Symbols Hinder the Interpretation of Algebraic ExpressionsJournal of Educational Psychology, 102, 625-634.
Ola Halldén, Liza Haglund & Helge Strömdahl (2007): Conceptions and Contexts: On the Interpretation of Interview and Observational Data, Educational Psychologist, 42:1, 25-40 abstract
Lynley H. Anderman & Eric M. Anderman (2000): Considering Contexts in Educational Psychology: Introduction to the Special Issue, Educational Psychologist, 35:2, 67-68abstract
Kees Buys (1991). Telactiviteiten voor kleuters. Bekadidact.
Zolang die kleuters maar lekker bezig zijn, met elkaar, vind ik het al prachtig. Of dat dan langs de lijnen van het realistisch rekenen wordt georganiseerd, uitgelegd en verklaard, daar heb ik geen probleem mee. Het is wel boeiend om te zien hoe in korte passages het gedachtengoed van het relistisch rekenen wordt geformuleerd. Zoals naar aanleiding van de vele manieren waarop kleuters het aantal kamers in het huis van kabouter Puntmuts (drie lagen van twee blokken) tellen:
In deze veelheid aan strategieën ligt een belangrijk aangrijpingspunt besloten voor het creëren van telsituaties die een aanvulling kunnen vormen op de eerder genoemde, meer spontane situaties. Door namelijk situaties te creëren waarin de kinderen elkaar laten zien hoe ze bij het tellen te werk gaan, kan bereikt worden dat ze van elkaar leren: dat ze zich nader bewust worden van een eigen werkwijze, dat ze aan het denken gezet worden over het eigen handelen, dat ze gerpikkeld worden om het op een handige(re) manier aan te pakken. De ontwikkeling van het tellen kan door dergelijke uitwisselingen in belangrijke mate gestimuleerd worden.
blz. 12
Doe maar gewoon, is mijn eerste gedachte dan.
De uitgewerkte contexten zijn van het type zoals te vinden in het proefschrift van Adri Treffers, maar dan op het niveau van groep 1 en 2. Zoals de knopendoos (45-54), kabouterhuisjes (55-62), de piratenschat (63-73), wintervoorraad (74-82). Ik vind het allemaal schitterend voor de kleuters, maar dat is geen professioneel oordeel. Ik merk op dat iedere vorm van toetsing van voortgang van de kleuters in telvaardigheden in dit boek afwezig is, wat mij op het eerste gezicht zeer sympathiek overkomt. Op het tweede gezicht ook, trouwens.
Ik ben geneigd om op contexten van dit type inderdaad het kenmerk ‘voor kleuters’ te plakken, met de waarschuwing erbij: voor de oudere leerlingen in de basisschool zijn dit soort gekunseldheden ingetwijfeld leuk en boeiend, maar voor de doelen van het onderwijs niet vanzelfsprekend adequaat.
Lieven Verschaffel (1998). Vaardig oplossen van contextgebonden wiskudneproblemen in de bovenbouw van de basisschool. Tijdschrift voor Onderwijsresearch, 242-260. pdf van hele jaargang
Na’ilah Suad Nasir, Victoria Hand & Edd V. Taylor (2008). Culture and Mathematics in School: Boundaries Between ''Cultural'' and ''Domain'' Knowledge in the Mathematics Classroom and Beyond. Review of Research in Education, 32, 187 Chapter 6.
A. Mattarella-Micke & S. L. Beilock (2010). Situating math problems: The story matters. Psychonomic Bulletin & Review, 17, 106-111.
W. J. Osburn (1930). Two recent books on arithmetic. Educational Research Bulletin, 9 #3, [nog niet binnengehaald via JSTOR eerste bladzijde ] 66-73.
http://www.benwilbrink.nl/projecten/contexten.htm