Rekenproject: Handig rekenen

Ben Wilbrink

rekenproject thuis
rekendidactiek
    ’functioneel rekenen’‘mechanistisch’‘realistisch’
        trucjes
    ‘handig’ rekenenhoofdrekenenschattend rekenenkolomrekenen
    contexten
    reflecteren
    rekenmachine




‘Handig rekenen’ is een van de kroonjuwelen van het realistisch rekenen. De invloed van de Freudenthal-groep is zelfs zo groot, dat in de kerndoelen voor het basisonderwijs het ‘gewone’ rekenen is vervangen door ‘handig’ rekenen. De dramatiek is dat alles in de leerpsychologie erop wijst dat handig kunnen rekenen een gevolg is van goed kunnen rekenen. De dramatiek van het ‘handig’ rekenen is bovendien dat de meeste rekenopgaven die mensen in hun dagelijks leven tegenkomen, zich niet lenen voor ‘handig’ rekenen. Kortom: het is een mega-blunder van de Freudenthal-groep om in de rekendidactiek tijd te verspillen aan het onderwijzen van handig rekenen aan leerlingen die nog niet eens goed kunnen rekenen. Een illustratie van de gekkigheid van dit alles: in april 2011 stelt de Rekentoetswijzercommissie — een door OCW ingestelde commissie die de rekentoetsen in basis-, voortgezet- en middelbaar beroepsonderwijs voorbereidt — voor om in de rekentoets die wordt toegevoegd aan de eindexamens havo-vwo, tot eenvijfde deel van de score te laten bepalen door opgaven die met handig rekenen zijn op te lossen. Zie voor een en ander de serie rekenblogs op het forum van Beter Onderwijs Nederland hier, terwijl de blog gewijd aan ‘handig’ rekenen nummer 7599 is.


Handig rekenen staat tegenover rekenen met een goed beheerst standaard-algoritme. Het belangrijkste verschil is uiteraard dat het standaard-algoritme altijd de oplossing levert, terwijl handig rekenen alleen mogelijk is met bepaalde getallen, en zelden met de willekeurige getallen waarmee rekenopgaven in de wereld-van-alledag vaak komen. De Freudenthal-groep heeft daar een standaard-antwoord op: opgaven die niet handig zijn uit te rekenen, doe je toch op de rekenmachine! Maar dat is een ander verhaal.

Waar het mij nu even om gaat is het volgende stukje psychologie: wie een standaard-algoritme beheerst, zal vanzelfsprekend geneigd zijn om dat algoritme te gebruiken, zeker ook bij opgaven waar een alternatieve ‘handige’ berekening mogelijk is. Het zou zelfs kunnen zijn dat de goede rekenaar bij deze ‘handig uit te rekenen’ opgaven in het nadeel is bij de rekenaar die het standaard-algoritme niet beheerst. Als dat laatste het geval is in een examen, dan is dat een ernstig validiteitsprobleem (zie Wilbrink, Hulshof & Pfaltzgraff (2012 html). Afijn, hoe dat ook zij, de psychologie van dit fenomeen begint eigenlijk bij Luchins (1942). Dat uitvoerige artikel is niet makkelijk online te krijgen: neem dan een recent artikel zoals dat van Bilalić, McLeod & Gobet (in press) pdf concept.

De rekenaar met een goede beheersing van het standaard-algoritme zal dus geneigd zijn dat algoritme altijd toe te passen, ook wanneer er een kortere oplossing mogelijk is. Pas wanneer de beheersing van het standaard-algoritme volkomen vanzelfsprekend is, is er makkelijker ruimte voor aandacht voor bijzondere kenmerken van de gestelde opgave, zodat een uitwerking wordt gezien die niet standaard is. Het zien van ‘handige’ uitwerkingen is dan een bijgift van de geautomatiseerde beheersing van het standaard-algoritme. De realistische rekendidactiek draait het juist om: deze didactiek vraagt aandacht voor mogelijkheden om iedere opgave op een handige manier uit te werken, en pas wanneer dat niet kan, op een standaard-manier. Ik zal daar nog uitvoerige aandacht aan besteden, met het nodige voorbeeldmateriaal uit publicaties van de Freudenthal-groep.


Hoeveel is 2¾ - 1¼?


Stel dat dit een eindexamenopgave is, bijvoorbeeld in een rekentoets-3F voor de havo. Wat weten we uit het antwoord op deze vraag over de rekenvaardigheid van de leerling?

Er zijn psychometrici die modellen ontwikkelen om desalniettemin te kunnen schatten welke oplosstrategie de betreffende leerling hier zou hebben gebruikt. Eenvoudiger is natuurlijk om leerlingen te vragen opgaven op klad uit te werken, en dat in te leveren. Afijn:
Matthias von Davier (2010). Mixture Distribution Item Response Theory, Latent Class Analysis, and Diagnostic Mixture Models. In Susan Embretson (Ed.) (2010). Measuring psychological constructs. Advances in model-based approaches. (11-34) American Psychological Association. site [Davier geeft een voorbeeld aan de hand van de bepaling van de gemiddelde lengte van een voet in de middeleeuwen (afbeelding). Al naar gelang van welke groep je de voetlengte meet, verschilt te uitkomst. Wat nu, wanneer je individuele uitkomsten hebt, maar niet weet uit welke groep individuele uitkomsten komen?]
K. K. Tatsuoka (1987). Validation of cognitive sensitivity for item response curves. Journal of Educational Measurement, 24, 233-245. preview


Koelbel print 1575

Stelling 1


Volgens de constraints-based learning theory van Stellan Ohlsson (2011, hfdst 7) is het expliciet aanleren van handig rekenen ondoeltreffend onderwijs: daarvoor is immers een veelvoud van gespecialiseerde versies van algemene rekenregels nodig.


In beginsel is de bovenstaande stelling hard te maken door expliciet de relevante constraints uit te schrijven, hetzelfde te doen voor het standaard-algoritme, simulaties te draaien, enzovoort.

Is dan niet de hamvraag: wat is het verschil tussen het handig leren rekenen zonder het standaardalgoritme vlot te beheersen, en het handige shortcuts kunnen nemen juist op basis van het geautomatiseerd hebben van het standaardalgoritme? En als dit te algemeen is geformuleerd, welke verfijningen zijn dan nodig?

A. S. Luchins (1942). Mechanization in problem solving: The effect of Einstellung. Psychological Monographs (Whole No. 224), vol. 54, 1-95. abstract, citations

Merim Bilalić, Peter McLeod & Fernand Gobet (in press). Why good thoughts block better ones: The mechanism of the pernicious Einstellung (set) effect. Cognition. pdf concept




Bullet

Handig rekenen: hypothese 1. ‘Handig rekenen’ kan geen eigenstandig doel voor rekenonderwijs zijn.

Voor gewone rekenopgaven is altijd het standaardalgoritme beschikbaar, anders dus dan voor wiskundeopgaven waar de oplossingsmogelijkheden al gauw contingent zijn op kenmerken van de opgaven. ‘Handig rekenen’ is het kiezen van een snellere oplossing dan die van het standaardalgoritme, en is daarom niet gauw aan de orde bij rekenproblemen zoals die zich ‘in het wild’ voordoen, dus niet met geschikt gekozen getallen.


In zekere zin tegenover hypothese 1 is de volgende hypothese 2 te formuleren. Mijn stelling is dat beide hypothesen waar zijn. Wat zijn de condities die beide hupothesen waar maken? Vallen die condities binnen het bereik van het rekenonderwijs?



Handig rekenen: hypothese 2. ‘Handig rekenen’ vooronderstelt expertise in rekenen: het is het rekenen van de expert die de beste oplossingswijze weet te kiezen.


Het derde hoofdstuk in het proefschrift van Christian Bokhove, over number sense, geeft mij aanleiding tot deze bespiegeling: de ‘symbol sense’ in deze opgaven (p. 49-50) doet mij voortdurend denken aan ‘handig’ rekenen, waarbij je immers ook moet ‘zien’ dat een gegeven opgave ‘handig’ is uit te rekenen op manier zus of zo. De vraag die dan opdoemt: is het mogelijk om te beargumenteren dat de symbol sense opgaven van Bokhove eigenlijk ‘handige’ wiskundeopgaven zijn? Of, als dat niet zo is, om dat te beargumenteren, en wat zegt dat dan over ‘handige’ rekenopgaven? Het lijkt me niet alleen een leuk thema, maar ook van eminent belang om stevige greep te krijgen op al die ‘handigheid’ in het realistisch rekenen. Ik kreeg daarop de volgende reactie.

Over ‘handig wiskunde doen’: iedereen die wiskunde in zijn eigen vak moet toepassen, weet dat de lastige dingen altijd zijn om door de bomen van vergelijkingen met parameters en letters voor bekenden en onbekenden het bos te zien, dat wil zeggen de essentie ervan in behapbare wiskunde te vertalen en vervolgens met een uitgebreid repertoire aan wiskundig gereedschap te lijf te gaan. Maar als die gereedschapskist niet genoeg gevuld is, kom je nergens.


Oké, maar dat verduidelijkt de zaak aanzienlijk, kijk maar eens hier:


Een vergelijking met schaken is altijd aardig, juist omdat daar goed onderzoek is gedaan (onder andere door A. D. de Groot, Het denken van den schaker, een wereldberoemd proefschrift uit 1947 of daaromtrent, integraal beschikbaar op dbnl.nl). De schaakmeester moet in een willekeurig gekozen meester-partij snel kunnen zien wat de strategisch sterke en zwakke punten zijn, en wat dus vervolgmogelijkheden zijn. In zekere zin is dat een operationalisatie van wat expertise inhoudt. (Psychologisch onderzoek naar wat het is om expertise te hebben vult een kleine bibliotheek; o.a. Anders Ericsson is op dit terrein bijzonder productief)


Bij het rekenen hebben we te maken met eenvoudige situaties waarin het helemaal geen probleem is welk standaardalgoritme gebruikt kan worden. Dat er af en toe in een rekenopgave met ‘willekeurige getallen’ een mogelijkheid is om veel sneller te rekenen dan met het standaardalgoritme, is verdraaid oninteressant (ook als men onderwijs ziet als voorbereiding op beroepsuitoefening). Het is dus van de gekke om dergelijke handigheidjes tot onderwijsdoel te verheffen, en erop te trainen.


Dit geschetste contrast is een prima vertrekpunt voor de kritische analyse van het ‘handig rekenen’.



Joke Torbeyns & Bert De Smedt & Pol Ghesquière & Lieven Verschaffel (2009). Acquisition and use of shortcut strategies by traditionally schooled children. Educational Studies in Mathematics, 71, 1-17. preview


Uitstekend onderzoek over optellen en aftrekken onder de 100, omgeven door een wonderlijk ideologisch verhaal over ‘handig rekenen’. De auteurs gebruiken die term niet, maar hebben het over het kunnen gebruiken van meerdere oplosstrategieën. Dat optellen en aftrekken gaat namelijk over opgaven waarbij je ook ‘handig’ zou kunnen rekenen.

Opvallend vind ik dan weer dat deze onderzoekers erin slagen om radicaal-constructivistische publicaties als serieuze bronnen te gebruiken, zoals Cobb, Yackel & Wood (1992), die toch echt in hun titel aangeven tot de constructivische school te behoren. Nee, Torbeyns c.s. is het er niet om te doen te laten zie hoe het constructivistisch gedachtengoed hier geen wetenschappelijke toevoeging biedt, integendeel. In dat ‘integendeel’ zit hem ook de aardigheid: juist door de uitvoerige, herhaalde, en verkrampte pogingen in de inleiding en vooral in de discussie om dat constructivisme erbij gesleept te krijgen, blijkt de constructivistische onmacht. Maar ja, dan moet je de tekst niet willen lezen met een constructivistische bril op.

Wat is het geval: die leerlingen met traditioneel rekenonderwijs doen het gewoon goed met al die rekenopgaven, ook al doen ze die nauwelijks met ‘handige’ strategieën. Maar moet dat dan? Nee, natuurlijk niet, waar is dat in vredesnaam goed voor? Torbeyns c.s. doen geen enkele moeite aannemelijk te maken dat ‘handig’ rekenen ook maar enige meerwaarde heeft. Niet in school, niet in het latere leven. En toch drammen ze door, in de discussie, dat ze daar les in moeten krijgen. Hoezo?

Natuurlijk wordt er door klas 2, 3 en 4 leerlingen ook wel ‘handig’ gerekend, daar door de onderzoekers toe verleid, en wel door de intelligentere/oudere leerlingen. Waaruit dumkt me een eenvoudige conclusie volgt, die in lijn met psychologische wijsheid ligt: expertise maakt vrij om ook andere oplosstrategieën te zien en te gebruiken. Torbeyns c.s. gaan hier volkomen aan voorbij. De spagaat die dan voor de onderzoekers ontstaat: zij houden een pleidooi om de natuurlijke leervolgorde toch vooral te doorbreken, en al vroeg te beginnen met ‘handig’ rekenen te onderwijzen. Wow! Dat gaat tranen, tijd en prestatieniveau kosten, zou ik voorspellen.

Ik besteed hier zoveel aandacht aan, omdat juist deze miskleun van de auteurs — een miskleun waar zij zelf blind voor zijn — zo onthullend is voor de wereld van de protagonisten van het &handig’ ekenen en andere kroonjuwelen van het constructivisme. Een sleutelpublicatie dus.

Overigens zie ik graag veel meer van het hypothese-toetsende onderzoek dat Torbeyns c.s. hier rapporteren. Daar was ik dan ook mee begonnen: het onderzoek zelf is uitstekend.

Ik zie dat er een vervolgstudie is gedaan met jongvolwassenen, zie Verschaffel cs, hier onmiddellijk beneden.



Lieven Verschaffel, Joke Torbeyns, Bert De Smedt, Greet Peters & Pol Ghesquière, (2010). Solving subtraction problems flexibly by means of indirect addition. BJEP Monograph Series II, Number 7 - Understanding number development and difficulties, 51-63. abstract.


Dit is eenzelfde onderzoek als dat van Torbeyns cs 2009, maar nu met jongvolwassenen in plaats van kinderen. En wat blijkt: jongvolwassenen rekenen kennelijk makkelijk ‘handig’ waar kinderen dat niet doen. Daaruit volgt geenszins dat het verstandig zou zijn om kinderen dan ook maar nadrukkelijk dat ‘handig’ rekenen te leren. Dan is het trouwens ook geen ‘handig’ rekenen meer, maar dat soort nuances zijn bij constructivisten niet aan de mens te brengen. In dit artikel hopelijk een scherpere discussie, die moet ik nog tot mij nemen. (Het artikel is te downloaden via researchgate)




De wet: kerndoelen en referentieniveaus

Drie samenhangende kerndoelen in de huidige wet op het basisonderwijs:



SLO: De kerndoelen basisonderwijs, rekenen/wiskunde webpagina



SLO: Kerndoel 29, leerlijn webpagina

De leerlingen leren handig optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.

Dit ‘handig’ rekenen is een uitwas van het hoofdrekenen, dat op zich al een veel centraler plaats in de realistische rekendidactiek heeft gekregen dan het in de conventionele rekendidactiek heeft. Bij die laatste is het hoofdrekenen een tussenfase in de lagere groepen, in de realistische rekendidactiek is het een einddoel van het rekenonderwijs, zoals het helaas ook in de kerndoelen basisonderwijs is terechtgekomen.



SLO: Kerndoel 27, leerlijn webpagina

De leerlingen leren de basisbewerkingen met gehele getallen in elk geval tot 100 snel uit het hoofd uitvoeren, waarbij optellen en aftrekken tot 20 en de tafels van buiten gekend zijn..

Maar dat is nog niet het hele verhaal: iemand heeft bedacht dat ‘schattend’ rekenen eveneens belangrijk genoeg is om als kerndoel voor het basisonderwijs te kunnen gelden, een idee dat nationaal en internationaal opgang heeft gemaakt. Natuurlijk, schattend rekenen is niet onbelangrijk: leerlingen doen er verstandig aan om het te gebruiken om de uitkomsten van hun rekenwerk van een eerste toets te voorzien. Maar waarom een zelfstandig kerndoel?



SLO: Kerndoel 28, leerlijn webpagina

De leerlingen leren schattend tellen en rekenen.


De Wet op de referentieniveaus taal en rekenen heeft de werkstukken van de commissie-Meijerink op in ieder geval niet door de commissie-Meijerink voorziene wijze tot wet gebombardeerd, met alle details en trivialiteiten. Destijds minister van onderwijs Rouvoet heeft in de Tweede Kamer vastgelegd dat deze referentieniveaus opgevat moeten worden als een nadere uitwerking van de kerndoelen basisonderwijs, niet als iets dat naast die kerndoelen een eigenstandige betekenis heeft.




Literatuur



M. K. van der Heijden (1993). Consistentie van aanpakgedrag. Een procesdiagnostisch onderzoek naar acht aspecten van hoofdrekenen. Proefschrift Leiden. Handelseditie: Swets & Zeitlinger. pdf van Voorwoord - Inhoud - Samenvatting - 8.Discussie en conclusies - 9.Epiloog, pdf summary


Zie ook promotieonderzoek.htm#Heijden, en hoofdrekenen.htm#Heijden.

Het bovenstaande nog eens nalezend, valt me op dat Van der Heijden hier niet ingaat op de vraag waarom handig rekenen eigenlijk een onderdeel is van het rekenprogramma op scholen. Ik moet nog nakijken of hij dat in hoofdstuk 2 en 3 misschien wel doet. Mijn stelling is immers dat handig leren hoofdrekenen niet in het onderwijs thuishoort: werkelijke situaties waarin gerekend zou kunnen worden, komen immers niet met getallen die handig zijn te manipuleren: daar moet gewoon het standaardalgoritme worden gebruikt.

Ik kan in het proefschrift niet vinden waarom Van der Heijden het handig rekenen in zijn onderzoek meeneemt, en wat de relatie van dat handig rekenen is tot het ‘handig’ rekenen van de Freudenthal-groep.

In par. 8.4 staat Van der Heijden voor open doel, maar schiet hij niet in. Hij komt niet op de gedachte dat het actief letten op mogelijkheden om handig te rekenen, tijd en energie kost, en in die zin dus minder voor de hand ligt dan de routinematige weg bewandelen. Van der Heijden is gefixeerd op zijn resultaat dat leerlingen vinden dat handige oplossingen inderdaad handig en sneller zijn. Maar Van der Heijden is zijn leerlingen aan het foppen, en lijkt dat feit niet in zijn analyse te betrekken.

Een verwant punt, ook een open doel, is het signaleren dat in de literatuur bekend is dat experts wel in staat zijn tot flexibel aanpakgedrag, en nieuwelingen niet. Dan ligt het toch voor de hand om te stellen dat deze jonge leerlingen nog bij lange na geen experts zijn in het rekenen? Van der Heijden komt heel dichtbij, waar hij constateert dat goede rekenaars vaker de handige aanpak kiezen. Waarom dan niet de stelling geponeerd dat het handig rekenen niet iets is dat moet worden onderwezen, maar dat volgt uit het beheersen van de stof?

Er is nog een belangrijk punt dat aan de aandacht van Van der Heijden ontsnapt lijkt te zijn: dat opgaven die op een handige manier zijn uit te rekenen, in het wild nauwelijks zullen voorkomen: het zijn typisch schoolse opgaven, met makkelijke en kleine getallen bovendien. Van der Heijden heeft er een test op gebaseerd: de Leidse Diagnostische Rekenaanpak Test (LDRT), tevens zjn onderzoeksinstrument.

In paragraaf 3.2 vind ik dan een kort theoretisch kader over optellen en aftrekken beneden 100. Dit verhaal zegt mij weinig tot niets, tenzij ik de genoemde bronnen natrek: Plunkett, 1979; Foxman, 1980; Hope, 1986; De Moor, 1987; Huitemaa, 1991; Nieland, 1986; Reys & Reys, 1986; Van Mulken, 1992. Van Mulken is het meest relevant, maar helaas gaat hij in zijn proefschrift er te impliciet vanuit dat hoofdrekenen onder 100 nut en noodzaak heeft. Moet ik dan nog naar de genoemde oudere publicaties kijken? Laat ik dat toch maar doen, heel snel.

Opvallend is in par. 3.2 de stellingname dat het rekenonderwijs gericht is op het inzichtelijk leren handelen met symbolen (waarbij Van der Heijden ongelukkigerwijs verwijst naar Freudenthal 1991), en dat contextrijke opgaven alleen een middel zijn om dat doel te bereiken. Als je dus wilt weten in hoeverre het onderwijs zijn doel bereikt, toets je dus zonder die contexten. Heel mooi, een helder inzicht van Van der Heijden.



Ann Dowker, Amanda Flood, Helen Griffiths, Louise Harriss & Lisa Hook (1996). Estimation Strategies of Four Groups. Mathematical Cognition, 2, 113-135. abstract

“Group differences in variability may depend in part on the nature and difficulty of the particular problem. For example, there were a few exceptional problems (e.g. 648.9 ÷ 22.4) for which mathematicians were less variable than the other groups, because they showed a strong preference for particular “known and nicer numbers” strategies (e.g. in the above case, converting the problem to 660 ÷ 22) that were rarely accessed by the other groups. Thus it appears that while mathematical knowledge is generally associated with increased strategy variability in this task, there are indeed some problems for which mathematical knowledge and ready access to particular strategies do limit variability. Also, some problems (e.g. Fermat’s Last Theorem) are so difficult that even finding one solution strategy is an impressive achievement.”



Rob Bosch (2005). Rekenen en algebraïsche vaardigheden 194-196. Euclides, 80 #4, 194-196.





5 maart 2014 \ contact ben at at at benwilbrink.nl    

Valid HTML 4.01!   http://www.benwilbrink.nl/projecten/handig_rekenen.htm http://goo.gl/mDIRX2