Rekenproject: Woordproblemen

Ben Wilbrink

rekendidactiek
    algoritmen
    getalbegrip
    basale rekenvaardigheden‘cijferen’
    optellenaftrekkenvermenigvuldigendelenbreukenmeten
    meetkundealgebra en rekenen
    materialen
    woordproblemen




Ik onderhoud al enige tijd een pagina over woordproblemen wordproblems. Dat blijft een algemene pagina op het thema. In contrast daarmee wil ik op deze rekenproject-pagina publicaties bijeenbrengen die direct de didactiek van het rekenonderwijs raken, zoals Verschaffel e.a. 1994 (zie hierbeneden).

Eveneens direct van belang de literatuur-pagina understanding_problems, en natuurlijk hoofdstuk 7 in Toetsvragen ontwerpen: over problemen. Specifiek van belang is uiteraard hypothese 4 in dit rekenproject: contextopgaven testen intelligentie.


Er is waarschijnlijk een subtiel onderscheid te maken tussen typische contextproblemen uit de Freudenthal-school, en woordproblemen zoals die buiten de invloedssfeer van het realistisch rekenen voorkomen. Het zou een hele prestatie zijn wanneer het lukt om dat onderscheid vast te pinnen op een scherpe beschrijving, een beschrijving die als criterium kan dienen om contextproblemen (zie ook de contexten.htm pagina) te onderscheiden van woordproblemen. De poging is zeker de moeite waard, omdat bijvoorbeeld de PISA-toetsen relatief veel contextopgaven bevatten. En de Cito Eindtoets Basisonderwijs. De PPON? TIMSS?



Miriam Wolters (1978). Van rekenen naar algebra. Een ontwikkelingspsychologische analyse. R.U. Utrecht proefschrift.



D. Boswijk & J. G. Zijlstra (ca 1883). Het rekenen in de lagere school. 1e, 2e en 3e stukje. Groningen: J. B. Wolters. Besproken door J.S., blz 72-76 in J. P. Schaberg e.a. (1883). Paedagogische bijdragen. 11e jaargang. Amsterdam: B. van der Land.


Er is van het 1e stukje geen versie online beschikbaar (schoolmuseum.nl, google.nl, Delpher). De boekbespreker citeert echter het volledige voorbericht, als ik het goed heb. Omdat hier inzichten in zijn verwoord die ook vandaag de dag telkens weer opduiken, is het niet oninteressant om dit voorbericht over te nemen.



Minna Kyttälä & Piia M. Björn (2014). The role of literacy skills in adolescents' mathematics word problem performance: Controlling for visuo-spatial ability and mathematics anxiety. Learning and Individual Differences, 29, 59-66. abstract or see here


Lieven Verschaffel, Brian Greer and Erik de Corte (2000). Making sense of word problems. Lisse: Swets & Zeitlinger.



Seethaler, P. M., Fuchs, L. S., Fuchs, D., & Compton, D. L. (2011, August 22). Predicting First Graders' Development of Calculation Versus Word-Problem Performance: The Role of Dynamic Assessment. Journal of Educational Psychology. Advance online publication. doi:10.1037/a0024968



Brian Greer (1997). Modelling reality in mathematics classrooms: the case of word problems. Learning and Instruction, 7, 293-307. abstract



Kurt Reusser & Rita Stebler (1997). Every word problem has a solution — The social rationality of mathematical modeling in schools. Learning and Instruction, 7, 309-327.



Hajime Yoshida, Lieven Verschaffel & Erik de Corte (1997). Realistic considerations in solving problematic word problems: Do Japanese and Belgian children have the same difficulties? Learning and Instruction, 7, . abstract

“The results of the study revealed that Japanese pupils, similarly to Belgian children, have a strong tendency to neglect commonsense knowledge and realistic considerations during their solution of word problems. Moreover, a comparison of Japanese pupils with and without extra hints aimed at improving the disposition towards more realistic mathematical problem solving revealed that these extra hints had only a small effect.”



L. Verschaffel, E. de Corte & I. Borghart (1997). Pre-service teachers’ conceptions and beliefs about the role of real-world knowledge in mathematical modelling of school word problems. Learning and Instruction, 7, 339-359. abstract

“The results revealed a strong tendency among student-teachers to exclude real-world knowledge from their own spontaneous solutions of school word problems as well as from their appreciations of the pupils’ answers.”



Jan Wyndhamn & Toger Säljö (1997). Word problems and mathematical reasoning — a study of children’s mastery of reference and meaning in contextual realities. Learning and Instruction, 7, 361-382. abstract



(1997). Learning and Instruction, 7, . abstract



Giyoo Hatano (1997). Commentary. Cost and benefit of modeling activity. Learning and Instruction, 7, 383-387.



Koeno Gravemeijer (1997). Commentary. Solving word problems" A case of modelling? Learning and Instruction, 7, 389-397. Koeno houdt hier een ideologisch verhaal over realistisch rekenen, out of character in dit tijdschrift. Dit is dus een uitstekend artikel om de opvattingen binnen de Freudenthal-groep over woordproblemen gekarakteriseerd te zien. The par. ‘Stereotyped problems’ is een wonderlijk allegaartje van pseudo-psychologische observaties, met de haren gesleept bij de problematiek van de woordproblemen. Koeno overschat zijn psychologische kennis een tikje, zullen we maar zeggen. De volgende paragrafen bevatten aanvankelijk geen onzin, maar dragen ook weinig bij: herhaling van de zetten van anderen, gemeenplaatsen. In de par. 'Modelling' wordt moeiteloos het gedachtengoed van Freudenthal en RME gekoppeld aan het werken met woordproblemen. Natuurlijk, zo deed Freud dat ook met het duiden van dromen (zie Linschoten Idolen van de psycholoog). Empirisch onderzoek komt er helemaal niet aan te pas, en dat is in de context van dit artikel toch wel boeiend: de voorgaande artikelen in dit nummer van Learning and Instruction betreffen empirisch onderzoek. In de spanning tussen een becommentariërend artikel, en de becommentariëerde empirische onderzoeken, is het toch een wat wonderlijke spagaat om er de hele theorie van RME in te gooien, een theorie die zelf nul komma nul relevante empirische onderbouwing kent. Koeno presteert het zelfs om de staartdeling erbij te halen, toch echt iets anders dan een woordprobleem, dunkt me. Volop verwijzingen naar zijn proefschrift, dat evenmin een empirisch proefschrift is. Afijn, de redactie van dit nummer/tijdschrift heeft het stuk van Koeno voor publicatie geaccepteerd, en dat feit zal Koeno vervolgens weer gebruiken om de wetenschappelijkheid van RME op te poetsen. So it goes (vrij naar Vonnnegut). Hoe absurd dit afloopt, bewijst de concluderende paragraaf. Het is wel van enig belang om dit pleidooi van Gravemeijer te arresteren: het is tamelijk ongehoord, behalve dan in kringen van de Freudenthal-groep.

From the Concluding Remarks: “ . . . . Greer proposes a shift towards a modelling perspective (Greer, 1997). However, my recommendation would be to go one step further, and to focus on modelling as a form of organizing [Freudenthal (l971) speaks of ‘organizing a subject matter’.] instead of an act of translation. I want to repeat that this implies a major reorientation on the goals of mathematics education. Such a reorientation can be cast in the context of a fundamental consideration of the goals of mathematics education for the next century.

The traditional mathematics curriculum for primary school has its roots in the past, in times when smooth and flawless execution of written algorithms was an ability with high societal and economic value. But that is something of the past. Calculators and computers are taking over all the laborious arithmetical work. At the same time, the modern citizen is bombarded with numerical and statistical data. One has to be able to deal with this information on a different level — being able to judge the meaningfulness and the correctness of calculations, being able to judge the plausibility or the true meaning of data. Those will have to be the goals for the future.”

Basta.



Verschaffel, L., De Corte, E., & Lasure, S. (1994). Realistic considerations in mathematical modelling of school arithmetic word problems. Learning and Instruction, 4, 273–294. [nog niet opgehaald]



Sylvie Gamo, Emmanuel Sander & Jean Francois Richard (2010). Transfer of strategy use by semantic recoding in arithmetic problems. Learning and Instruction, 20, 400-410. abstract



Inez E. Berends & Ernest C. D. M. van Lieshout (2009). The effect of illustrations in arithmetic problem-solving: Effects of increased cognitive load. Learning and Instruction, 19, 345-353. abstract



Tolar, T. D., Fuchs, L., Cirino, P. T., Fuchs, D., Hamlett, C. L., & Fletcher, J. M. (2012, June 18). Predicting Development of Mathematical Word Problem Solving Across the Intermediate Grades. Journal of Educational Psychology. Advance online publication. doi: 10.1037/a0029020



E. de Corte & L. Verschaffel: De complexe relatie tussen redactie- en formule-opgaven. Enkele resultaten van een empirisch onderzoek in de aanvangsklas van het basisonderwijs. In G. de Zeeuw, W. Hofstee & J. Vastenhouw (Red.) (1983). Funderend onderzoek van het onderwijs en onderwijsleerprocessen (5-14). Onderwijs Research Dagen 1983. Swets & Zeitlinger.


lustighe Vraghen heten redactiesommen in de rekenboekjes in de 16e en 17e eeuw.


lees-rekenvraagstukken is een term die sinds 1937 door Kohnstamm wordt gebruikt voor het nieuwe type redactiesommen dat door het Rapport-Bolkestein is ingevoerd.


Proeve van een leerplan (1967). Uitgave: Nutsseminarium.

P. M. van Hiele (1956). Richtlijnen voor een nieuw leerplan rekenen op de lagere school. Purmerend.

Piet, Jan en Klaas knikkeren. Jan en Klaas hebben op een bepaald ogenblik 7 maal zo veel knikkers als Piet. Klaas heeft 1 4/5 zoveel als Jan. Piet heeft 12 minder dan Jan. Hoeveel heeft elk?

Ph. Kohnstamm (1934). De aansluiting tussen lager en middelbaar onderwijs. G. Het rekenen. Pedagogische Studiën, zoals geciteerd in Wolters, 1978, p. 75. Ook afgedrukt in Keur uit het didactisch werk van Prof. Dr. Ph. Kohnstamm, 1952, p. 235


Ph. Kohnstamm (1934). De aansluiting tussen lager en middelbaar onderwijs. G. Het rekenen. Pedagogische Studiën. Ook afgedrukt in Keur uit het didactisch werk van Prof. Dr. Ph. Kohnstamm, 1952, p. 235



redactiesom, ook bekend onder tal van andere benamingen voor het genre of voor specifieke typen opgaven. Van Gelder (1969, p. 89) noemt: rekenvraagstuk 'd.w.z. opdrachten in taalvorm, die aanleiding geven tot rekenkundige bewerkingen;' kapitaalsom, wegsom, verdeelsom, etcetera.


contextopgave is een rekensom die wordt aangeboden als een 'realistische' situatie, en die situatie kan als afbeelding gegeven zijn, of in tekst beschreven. Het idee en de term context voor rekenopgaven hoort bij realistisch rekenen zoals gepropageerd door het Freudenthal Instituut.




redactiesom

Piet, Jan en Klaas knikkeren. Jan en Klaas hebben op een bepaald ogenblik 7 maal zo veel knikkers als Piet. Klaas heeft 1 4/5 zoveel als Jan. Piet heeft 12 minder dan Jan. Hoeveel heeft elk?

Ph. Kohnstamm (1934). De aansluiting tussen lager en middelbaar onderwijs. G. Het rekenen. Pedagogische Studiën, zoals geciteerd in Wolters, 1978, p. 75. Ook afgedrukt in Keur uit het didactisch werk van Prof. Dr. Ph. Kohnstamm, 1952, p. 235


redactiesommen is een term die in de 21e eeuw niet meer zo wordt gebruikt. Een typische redactiesom laat de bovenstaande box zien: uit de dertiger jaren. In de zeventiger jaren nog volop in gebruik in het onderwijs, de vakgroep ontwikkelingspsychologie in Utrecht had het project redactiesommen waaruit o.a. het proefschrift van Miriam Wolters zie hier uit is voortgekomen.



Miriam Wolters (1978). Van rekenen naar algebra. Een ontwikkelingspsychologische analyse. R.U. Utrecht proefschrift.



N. W. J. Mascini (1976). Oplossingsmethoden bij het rekenonderwijs in de basisschool. Pedagogische Studiën, 53, 49-56.


Een sleutelpublicatie. Chapeau. Onderdeel van het onderzoek van Miriam Wolters (1978). Van rekenen naar algebra. Een ontwikkelingspsychologische analyse. R.U. Utrecht proefschrift. L. van Gelder (1969). Grondslagen van de rekendidactiek. Een theoretische en practisch-didactische beschouwing over het rekenen in het basisonderwijs. Vijfde druk. Groningen: Wolters-Noordhoff.



Frank Kok (1988). Vraagpartijdigheid. Methodologische verkenningen. proefschrift Universiteit van Amsterdam.



K. Bügel en P. F. Sanders (1998). Richtlijnen voor de ontwikkeling van onpartijdige toetsen.. Arnhem: Cito. pdf



Uiterwijk H. (1994). De bruikbaarheid van de Eindtoets Basisonderwijs voor allochtone leerlingen.Proefschrift KUB. Cito. pdf



Uiterwijk, H., & Vallen, T. (1992). Een toets mag moeilijk zijn, maar niet onbedoeld moeilijk. De toetsesultaten van allochtone leerlingen en de 'itembias'. Tijdschrift voor Onderwijs en Opvoeding, 51, 7, 15-21. Volgens Picarta ook in In: VERNIEUWING; vol. 51 (1992), afl. 7, pag. 15-18 / 1992??? (Allochtone leerlingen scoren gemiddeld slechter op toetsen dan autochtone. Door alert te zijn op het taalgebruik in toetsen, kan dit scoreverschil kleiner worden.)



Uiterwijk, H.; Vallen, T. Onderzoek naar bias voor allochtone leerlingen in de Cito-Eindtoets Basisonderwijs / In: PEDAGOGISCHE STUDIëN; vol. 74 (1997), afl. 1, pag. 21-32 / 1997



Uiterwijk, H.; Vallen, T. Talige bronnen van itembias voor allochtone leerlingen in de eindtoest basisonderwijs / In: Spiegel; vol. 12 (1994), afl. 2, pag. 9-29 / 1994



Uiterwijk, H. , & Vallen, T. (1996). Hoe worden toetsen minder partijdig voor allochtonen? MOER, I 75-84. Over Eindtoets Basisonderwijs begrijp ik i. h. b. eq bias - Zie dan ook het proefschrift van Henny Uiterwijk



L. Mulder, J. Roeleveld en H. Vlerke (2007). Onderbenutting van capaciteiten in basis- en voortgezet onderwijs. Den Haag: Onderwijsraad. Studie. pdf



P. P. M. Leseman (2007). Achterstandenbeleid: Voorbij de voor- en vroegschoolse periode. In P. A. H. van Lieshout, M. S. S. van der Meij en J. C. I. de Pree: Bouwstenen voor betrokken jeugdbeleid (p. 113-130). WRR Wetenschappelijke Raad voor het Regeringsbeleid. Amsterdam University Press. De pdf is beschikbaar op de site van de WRR.



op eieren lopen

Eene boerin, eene stad naderende en bij de eerste wagt aankomende, wierd door dezelve afgevorderd 1/b of ½ van hare eijeren met nog 1/b of ½ ei; tot de tweede genaderd zijnde, vorderde deze ook van haar 1/b of ½ van de overige eijeren en nog 1/b of ½ ei; eene derde wacht vroeg haar daarna ook weder hetzelfde. Ofschoon zij nu driemaal een half ei had toegegeven, had zij echter niets meer over, en was ook niet in de noodzakelijkheid geweest om daartoe één ei te breken. Hoeveel eijeren had zij dus in het begin gehad?

Van Bemmelen 1818 p. 49 opgave 31. Antw (3b(b-1)+1)/(b(b-2)+1) of 7 eijeren.


Een snellere oplossing van dit absurde probleem is gewoon twee of drie aantallen proberen. De opgave vertelt ook heel wat over de samenleving van die tijd, overigens. Het boek van Van Bemmelen bestaat voor een groot deel uit dit abjecte type opgaven, en zal daarin ongetwijfeld niet echt afwijken van wat elders aan tienerpesterijen werd bedacht en gedrukt. Maar ja, de filosofie was dat die pesterij juist vormend werkte, en wie er niet tegen kon moest vooral liever weggaan.


A. van Bemmelen (1817/1818). Lessen over de algebra of stelkunst, ten gebruike der Latijnsche scholen. 's-Gravenhage, bij de Erven J. Allart.



gif/bartjens69a.jpg

Een el kost 10 schellingen. Hoeveel kost 12½ el? Antw. 6 pond Vlaams 5 schelling [er gaan 20 schellingen in een pond, Bartjens p. 77]

Vlas kost 6 stuivers per pond. Hoeveel kost 80½ pond? Antw. 24 gulden 3 stuivers.

Bartjens, 1779, p. 69. Voor de hele bladzijde, klik hier.


Kijk eens naar een bladzijde redactiesommen in Bartjens (1604/1779), een rekenboekje gericht op wat kooplieden nodig hebben: natuurlijk hebben al die redactiesommen over hoeveelheden en prijzen eenduidige antwoorden, en zijn het eenvoudige bewerkingen van de gegeven getallen. Sterker nog: bijna alle opgaven in Bartjens, en dat geldt ook voor de oudere rekenboekjes uit de 15e en 16e eeuw (Kool, 1999), zijn van dit type redactiesom. In de twintigste eeuw is er niet meer zo'n directe koppeling tussen leren rekenen en rekenen in het beroep, maar het fantastische is dat de redactiesommen nog steeds gevierd zijn.


Willem Bartjens (1604/1779). De vernieuwde cyfferinge van Mr. Willem Bartjens, waar uyt men meest alle de grond-regulen van de reeken-konst leeren kan. By Joannes Kannewet. Het boek is gescand beschikbaarop books.google.nl.



Theo Thijssen (1929). De examen-idioot of De kinderexamens van 1928. Overdruk uit De Bode. orgaan van de Bond van Ned. Onderwijzers. Bondsdrukkerij "De Volharding". scan 24 Mb.


Theo Thijssen was a Dutch writer and schoolteacher. In a series of articles in the journal De Bode he made a mockery of the admissions tests developed and used at the local level by secondary school teachers. Thijssen’s analysis of the poor quality of the test items is still relevant today. A Dutch committee chaired by Roel Bosker (May 2014, report to the ministers of education Bussemaker and Dekker) showed math tests developed bij Cito, under responsibility of the College for Examininations, to be of unacceptable quality, much like the 1929 arithmetics items ridiculed by Thijssen. What to do? Well, order the culprits to better their life. The opposition in Parliament is not happy: why would Cito and CvE be able to produce quality tests in a few months time, having used many years to develop the tests now admittedly being unacceptable?





C. Alan Riedesel & Paul C. Burns (1973). Research on teaching elementary-school mathematics. In Robert M. W. Travers (Ed.) (1973). Second handbook of research on teaching (1149-1176). Rand McNally. isbn 0528618245 Aad van Leeuwen


Onder andere met een afstamming tot Leonardo van Pisa (Fibonacci), Bachet sieur de Méziriac (1626), Ozanam (1692).



Kurt VanLehn (1989). Problem solving and cognitive skill acquisition. pp 527-579 in Posner, M. I. Posner (ed.) (1989). Foundations of cognitive science. The MIT Press. isbn 0262161125 the report


Of special interest: Section Schema-driven problem. Eord problems in physics, mathematics and engineering; non-routine solving of word problems; expert problem solving in other task domains; relationship to the standard theory.









16 februari 2018 \ contact ben at at at benwilbrink.nl    

Valid HTML 4.01!   http://www.benwilbrink.nl/projecten/woordproblemen.htm http://goo.gl/9riOIa