Oorspronkelijke uitgave 'Toetsvragen schrijven' 1983 Utrecht: Het Spectrum, Aula 809, Onderwijskundige Reeks voor het Hoger Onderwijs ISBN 90-274-6674-0, nu in publiek domein, auteursrechten B. Wilbrink. Onderstaande tekst is een sinds 2006 in bewerking zijnde versie. Voor de oorspronkelijke 1983 tekst zie www.benwilbrink.nl/publicaties/83ToetsvragenAula.pdf.

Toetsvragen ontwerpen

Handreiking bij het maken van toetsvragen over de leerstof

7. Problemen stellen

Ben Wilbrink

onderstaande tekst van dit hoofdstuk is nog niet volledig herzien

En die herziening zal waarschijnlijk toch wel ingrijpend worden. Het gaat hier om een buitengewoon lastig onderwerp, dat ik in 1983 in veel te kort bestek op te abstracte wijze heb behandeld. Voor de herziening ga ik waarschijnlijk ook gebruik maken van probleemoplossen zoals dat in het bo en vo wel plaatsvindt, en dan zowel de terechte als de onterechte vormen. Dat wordt nog spannend. Wie mijn strijd tegen contextopgaven in het rekenonderwijs kent, zal zich nog wel eens achter de oren krabben bij de tekst van 1983 van dit hoofdstuk. Ik zal dus beter duidelijk moeten maken waarin probleemoplossen moet verschillen van de context-waan in toetsen en eindexamens van het Cito/CvE.

Een belangrijke aanvulling op de tekst van 1983 zal worden dat voor het opstellen van oplossingsplannen niet alleen de wat starre methodiek vanuit de Kunstmatige Intelligentie van belang is (zoals voor de 1983-tekst gebruikt; maar Herbert Simon (1978) gebruikt dat schema van producties even makkelijk voor ongestructureerde problemen), maar dat de heuristische benadering van George Pólya (1957) voor niet-routinematige probleemstellingen een belangrijker instrumentarium lijkt te zijn. Het lastige met het werk van Pólya is dat het zich niet goed laat inpassen in bekende theorieën, maar daar heeft Allen Newell (1983) een heel goede bijdrage geleverd. Het vinden van hulpproblemen speelt een hoofdrol, en Pólya's aanwijzingen om geschikte hulpproblemen te vinden zijn enorme eye-openers voor de probleemoplosser (en de ontwerper van probleemstellingen, natuurlijk). Eye-opener's, yes, maar tegelijk ook heel herkenbaar. De moeilijkheid, of eigenlijk het interessante, bij het vinden van geschikte hulpproblemen is dat dat niet een kwestie is van slim zijn, maar van een rijke kennis hebben, bijvoorbeeld kennis verkegen door het eerder opgelost hebben van andere problemen. Newell, die samen met Simon baanbrekend werk verrichtte over probleemoplossen in Kunstmatige Intelligentie, heeft het alom bekende en al meer dan een halve eeuw veelgebruikte werk van Pólya van geschikte handvatten voorzien om het in te passen in instructietheorie, ook voor andere vakken dan wiskunde.

Bij die herziening zal ook een rol spelen dat het oplossen van redactiesommen in beginsel een vorm van probleemoplossen is. En over redactiesommen—word problems—is fraai onderzoek verricht, dat een hoop inzicht verschaft in wat er zoal mis kan gaan bij zo op het eerste gezicht eenvoudige vormen van probleemoplossen, en hoe dat in beginsel ontwerptechnisch beter is aan te pakken. Een sterke kritiek op veel redactiesommen is dat ze gezocht zijn bij een gegeven rekenkundige opdracht; de juiste benadering, vanuit de doelen van wiskundeonderwijs etcetera, is om leerlingen van een gegeven situatie een rekenkundige vertaling te laten maken (en die som dan op te lossen, maar dat is dan ineens minder interessant, niet?) (zie o.a. Lenné 1969). Ook Verschaffel e.a. (2000) komen na hun overzicht tot de slotsom dat het opstellen van het rekenkundige/wiskundige model de crux hoort te zijn.

In het rekenproject is een pagina gewijd aan probleemoplossen (hoe de Freudenthal-groep ermee omgaat, wat vanuit de cognitieve psychologie gezien de plaats van probleemoplossen zou kunnen zijn in rekenonderwijs).

Eeb belangrijke verrijking van de theorie is het overzicht dat Stellan Ohlsson geeft van zijn werk, voortbouwend op dat van onder andere Allen Newell:

Stellan Ohlsson (2011). Deep learning. How the mind overrides experience. Cambridge University Press. zie ook hier

Dit boek is zowel een overzicht van de cognitieve psychologie, als de presentatie van een nieuwe, overkoepelende theorie over probleemoplossen in zowel zijn analytische vormen (recht-toe-recht-aan) als zijn creatieve varianten (daar waar de analytische benadering leidt tot impasses). Fantastisch. Maar wel onleesbaar voor wie niet enigszins is ingevoerd in de cognitief-psychologische literatuur. Wie de moeite wil nemen, en in dit boek vastloopt: mail mij.

George Pólya (1945/1957) legt in zijn studie over het oplossen van (wiskundige) problemen een sterke nadruk op het begrijpen van de probleemstelling. Dat is een mooi bruggetje tussen het begrijpen van tekst, in het voorgaande hoofdstuk, en het oplossen van problemen. Het ligt dan voor de hand een directe koppeling te maken tussen het werk van Randi, Grigorenko en Sternberg (2005) over wat het is om tekst te begrijpen, Deanna Kuhn (2005) over onderzoekend leren, en George Pólya's (1945/1957) didactische uitwerking van het oplossen van (wiskundige) problemen langs de weg van het eerst begrijpen van de probleemstelling. Dat 'wiskundig' tussen haakjes staat heeft als reden dat Pólya het weliswaar concreet over wiskundige problemen heeft, maar zijn didactiek desondanks niet specifiek is voor wiskunde. Bij Pólya is het begrijpen van een probleemstelling een speelse mix van in eigen woorden weergeven, symbolen invoeren, deelproblemen onderkennen, mogelijk verwante al bekende problemen erbij halen, fantaseren over hoe een oplossing eruit kan zien, en meer van dergelijke activiteiten die ook bij Randi en anderen figureren. Kijken naar bijzondere kenmerken hoort daar ook bij, kenmerken die mogelijkheden suggereren voor een aanpak van (een deel van) het probleem: dat is waar sinds Het denken van den schaker (De Groot, 1946) in de cognitieve psychologie van onder andere Herbert Simon zo'n sterk nadruk op is gelegd. Of anders gezegd: voor het begrijpen van een probleemstelling is het hele arsenaal van instrumenten voor het begrijpen van tekst, zoals analyse en inferentie, bruikbaar.

Een directe conclusie uit deze korte beschouwing-vooraf is dan het volgende. Het stellen van problemen gebeurt meestal, en zeker in examens, met de bedoeling dat de kandidaat een oplossing vindt of construeert. Het is niet onwaarschijnlijk dat het begrijpen van de probleemstelling belangrijker is dan het vervolgens opstellen van een plan voor de oplossing, en de uitwerking van dat plan. Zeker in die gevallen waar de concrete uitwerking een ambachtelijk karakter heeft en relatief veel tijd kost—zoals bij wiskundige problemen het geval kan zijn—kan de ontwerper van toetsvragen mogelijk doeltreffender zich richten op het toetsen van het begrijpen van de probleemstelling, in plaats van op de concrete uitwerking. Ik hoop hier in de literatuur mooie voorbeelden van te vinden; Pólya geeft er voorbeelden van in zijn gestileerde dialogen tussen docent en studenten.

Het oplossen van een probleem valt uiteen in twee scènes: de eerste scène is het zoeken van een oplossing, en de tweede is het uitwerken en presenteren van de gevonden oplossing. Deze tweedeling is mogelijk fundamenteler—wezenlijker voor een goed begrip van probleemoplossen—dan ze er op het eerste gezicht uitziet. Ik presenteer dit onderscheid op dit moment wat aarzelend, alsof het een intuïtieve vondst van een mogelijke oplossing is, en zal er in de loop van de tijd—met het vinden van relevante literatuur—een gelikte oplossing van maken. Afijn, voor het probleem als examenopgave is de impliciete suggestie dat de gevraagde oplossing die presentabele oplossing is, de ingrijpende bewerking van de oplossing zoals die allereerst tastenderwijs is gevonden. Het tasten wordt weggemoffeld, de oplossing wordt gepresenteerd alsof het een vanzelfsprekende rationele constructie is. Daar zit iets Popperiaans in, de opvatting van Karl Popper dat het bij een wetenschappelijke ontdekking gaat om de strenge onderbouwing ervan, niet om de mogelijk frivole gedachtensprongen, of serendipiteit (Merton en Barber, 2004), die in feite tot de ontdekking hebben geleid. Excuus, ik heb een lange aanloop gebruikt om tot een nogal platte constatering te komen, en wel deze. In de wetenschap, en in navolging daarvan ook in het onderwijs, is het gebruikelijk om ontdekkingen te presenteren als noodzakelijk volgend uit een aantal logische of op zijn minst rationele overwegingen, gegeven de beschikbare feiten. Dat is vrijwel altijd een bewuste verdraaiing van de werkelijkheid van het ontdekken. Een wiskundig bewijs is daar het prototypische voorbeeld van: het vinden van de mogelijkheid voor een bewijs voor een gegeven stelling is totaal iets anders dan het netjes uitwerken en eventueel daarna ook nog weer eens heel anders opschrijven van het eerder tastenderwijs gevonden bewijs. Het is een fictie dat de wetenschap een rationeel bedrijf is: de presentatie van de resultaten van wetenschappelijk zwoegen is een rationele constructie. Newton's bewegingswetten zijn daar een goed voorbeeld van, niet het minste onderwerp uit de wetenschapsgeschiedenis.

Het interessante verband tussen het begrijpen van tekst (hoofdstuk 6) en het oplossen van problemen (dit hoofdstuk 7) is dan ook als volgt. De te begrijpen tekst is al een afgerond werkstuk van een schrijver, de oplossing van het gestelde probleem moet nog zo'n afgerond werkstuk worden. Toch hebben het begrijpen van een gegeven tekst, en het begrijpen van een probleemstelling, vrijwel alles met elkaar gemeen. Is het voor het begrijpen van tekst voldoende om het begrip als zodanig te verwoorden, bij het oplossen van een probleem komen daar nog enkele slagen overheen: het zien van mogelijke oplossingen of wegen daar naartoe, het uitwerken van een oplossing, en tenslotte het presenteren van die oplossing in de vorm van tenminste een serie rationele stappen. Prachtig vinden we dat, die rationele constructies, we hebben er ons onderwijs mee volgepropt, daarmee veel leerlingen vervreemdend van de verwondering en de intellectuele uitdaging die nu schuilgaan achter die rationele façade. Die rationaliteit is kunstmatig, zo zijn de ontdekkingen niet gedaan, zo werken onze hersenen niet, en zo werken ze ook niet tijdens proefwerken en examens. Goed omgaan met het oplossen van problemen, en op een adequate manier omgaan met de oplossingen die studenten aandragen, zal nog een grote uitdaging blijken te zijn. Voor inspiratie: George Pólya (1954), scherp observator zonder de hulp van de toen nog nauwelijks van de grond gekomen cognitieve psychologie.

Probleemoplossen is het glanzende hoogtepunt van het onderwijs, de gelegenheid bij uitstek voor het consolideren van kennis door deze intensief te gebruiken. En hoe geweldig motiverend kan het zijn. Natuurlijk, probleemoplossen kan vanaf dag een beginnen, op basis van de kennis die leerlingen de school binnenbrengen, en is niet het zalige toetje dat alleen vlak voor het examen valt te genieten. Het gaat hier dus niet om probleemstellingen die alleen in toetsen voorkomen, maar om probleemstellingen die het hart van het onderwijs, van het leren, vormen. Zoals in de experimentele didactiek van Deanna Kuhn (2005), en wie goed kijkt zal het terugzien in de didactiek van de meeste grote onderwijshervormers. En o ja, dat probleemoplossen is niet iets dat leerlingen—studenten—individueel doen met alleen hun docent als coach: dat is toevallig het model van toetsen en examens waar we de gewoonte hebben individueel te toetsen.

7.1 Over problemen gesproken

Probleemoplossen is complex, nog weer complexer dan het begrijpen van tekst. De probleemoplosser die het eigen denken probeert te volgen, is het niet altijd duidelijk waar de ideeën voor een oplossing vandaan komen, of waarom ze er precies op dit moment zijn. Hoe het oplossen mentaal verloopt is vaak verborgen. Dat is ook wel begrijpelijk: mentale processen verlopen in enkelvoud, er is geen dubbele set van aanwezig—geen homunculus in ons hoofd—die de activiteiten van de eerste kan zien, laat staan aansturen. Voor de ontwerper van probleemstellingen maakt deze ongrijpbaarheid van oplosprocessen het er niet eenvoudiger op. In de literatuur zijn er geen makkelijke oplossingen voorhanden, omdat de verborgenheid van mentale processen een universeel fenomeen is waar ook auteurs als Pólya, die zich decennia lang intensief in probleemoplossen hebben verdiept, niet doorheen kunnen breken. Een sleutel tot het raadsel ligt in de cognitieve psychologie, en dan vooral die tak die intensief theoretiserend en experimenterend het probleemoplossen heeft aangepakt: zoals Adriaan de Groot (1946) en Allen Newell and Herbert Simon (1972). Het gaat dan om de directe koppeling tussen belangrijke kenmerken van de probleemsituatie—bijvoorbeeld leidende kenmerken in de schaakstelling— en acties die bij zo'n kenmerk vaak succes blijken te hebben. Die koppeling, met een technische term productie genoemd, is als het ware het mechaniek waar het probleemoplossen op draait, en dat de ontwerper van probleemstellingen (en van onderwijs) goed moet begrijpen om het in te kunnen zetten. Dit is de theoretische positie op basis waarvan de uitwerking in 1983 is gemaakt, en wat ook in deze herziening het theoretisch kader blijft.

Deze en de volgende paragrafen hebben nog vooral de vorm en de inhoud van 1983. De behandeling is nogal schematisch, wat het voordeel heeft dat het een lastig en makkelijk oeverloos uitdijend onderwerp hanteerbaar houdt. Merk op dat deze tekst uit 1983 weinig aandacht besteedt aan de fase van verkenning, van grondig leren begrijpen van de probleemstelling. Ik wil dat voorlopig zo houden, en de inleidende paragraaf op dit hoofdstuk vooral zien als een aansporing om dit hoofdstuk zeven toch vooral in nauwe samenhang te zien met hoofdstuk zes, het begrijpen van tekst en dus ook van probleemstellingen.

De vuistregels voor het stellen van problemen, zoals die in 7.3 gegeven worden, sluiten aan op de verschillende 'stappen' waarin het aanpakken en oplossen van problemen uiteengelegd kan worden. In fig. 7.1 is schematisch aangegeven welke stappen dat zijn, en hoe deze onderling gerelateerd zijn. Bij de meeste problemen laat deze cyclus van stappen zich in en of andere vorm in de oplossing herkennen. En dat is dan ook de bedoeling bij het presenteren van dit schema: het biedt een aantal vaste aanknopingspunten om over een gegeven probleem en zijn oplossing te kunnen spreken en ook om meer in het algemeen uiteen te kunnen zetten om welke specifieke vaardigheden het gaat bij het oplossen van problemen in het eigen vakgebied. Op dat laatste sluiten de inventarisatie (in 7.2) en daarop weer de vuistregels (in 7.3) aan. De gekozen terminologie krijgt hieronder een verdere toelichting, waarvan de algemene strekking is dat deze termen een zeer brede betekenis krijgen toebedeeld. Let daarbij vooral op de ongewone invulling van wat onder een 'plan' verstaan kan worden (daar wordt bijvoorbeeld ook een hypothetisch antwoord onder begrepen).

Figuur 1 De probleemaanpak in schema

Misschien belangrijker dan de terminologie zijn de relaties zoals in fig. 7.1 met pijlen aangeduid: het gaat er in het onderwijs niet zozeer om dat de student beseft dat hij een bepaalde stap moet maken als wel dat hij in staat is om die stap te maken. Vooral de stap van expliciet gemaakte kenmerken van de probleemsituatie naar mogelijke plannen voor de oplossing is heel wezenlijk bij het oplossen van problemen. Tenslotte wil ik benadrukken dat dit schema niet dogmatisch bedoeld is: in de praktijk zullen de verschillende onderscheiden stappen min of meer in elkaar kunnen overvloeien en in sterke onderlinge wisselwerking kunnen staan. Voor een bepaalde klasse van problemen in een specifiek vakgebied zal het soms mogelijk zijn om dit globale schema te vervangen door een meer gedetailleerd schema met meerdere expliciet aangegeven terugkoppelingsmomenten.

Problemen. De problemen waarmee in het hoger onderwijs gewerkt wordt zijn van een grote verscheidenheid. Dat kan ook binnen ieder afzonderlijk vakgebied gelden: analyseer dan ieder type of iedere klasse van problemen afzonderlijk.

Natuurlijk zijn er heel algemene typen van problemen te onderscheiden, bijvoorbeeld 'gesloten' problemen waarbij een heel specifiek antwoord verlangd wordt (bewijzen en berekenen) en 'open' problemen waarbij het antwoord grote individuele vrijheid toelaat (essay, constructieproblemen). Dergelijke typeringen zijn op talrijke manieren te maken en hoewel het probleemtype zeker van invloed is op de typische aanpak van het probleem, zie ik in dit hoofdstuk ervan af om expliciet in te gaan op dergelijke verschillen en benadruk ik liever wat er in grote lijnen gemeenschappelijk is in de aanpak van heel verschillende probleemtypen.

In het volgende zal ik bij voorkeur de aanpak van schaakproblemen als voorbeeld nemen. Niet omdat er nogal wat denkpsychologisch onderzoek op dit gebied is gedaan (bijv. De Groot, 1978), maar gewoon omdat deze problemen voor de meeste lezers inzichtelijk zijn en omdat de afzonderlijke punten uit fig. 7.1 er goed in uitkomen.

Kenmerken. Een aangeboden probleem wordt allereerst zorgvuldig bestudeerd: de probleemstelling wordt geanalyseerd (zie 6.3), er worden mogelijk al enkele inferenties gemaakt (zie 6.4), het probleem wordt in een andere, meer toegankelijke vorm gebracht (vertaald, getekend, in formule gebracht; zie 5.1). Deze activiteiten zijn erop gericht die kenmerken van de probleemsituatie naar voren te brengen waarop met plannen aangesloten kan worden. Bij het schaken gaat het om het vinden van de belangrijkste kenmerken van de stelling; bij juridische problemen (casus) om het aanwijzen van het centrale probleem. Het identificeren van belangrijke kenmerken in een probleemsituatie is een (eventueel afzonderlijk) te onderwijzen, te oefenen en te toetsen vaardigheid (zie 5.1, 6.3 en 6.4). Of de zo gevonden kenmerken een oplossing mogelijk maken, zal echter nog moeten blijken; het is altijd mogelijk dat in een later stadium deze analyse uitgebreid of overgedaan moet worden.

Het laatste voorbeeld illustreert nog eens dat 'problemen' niet altijd hoeven te verschillen van bepaalde soorten opgaven die in voorgaande hoofdstukken behandeld zijn. De kern van dit probleem is immers de keuze van de juiste techniek (hier de substitutiemethode) uit een klein aantal mogelijk bruikbare technieken.

Hoewel het in dit boek niet over didactiek gaat, is deze opmerking van Euwe hier toch wel interessant: 'Hij, die de partij volgens vaste regels behandelt en zich voortdurend rekenschap geeft van de aanwezige kenmerken, zal zijn spel veel gemakkelijker kunnen perfectioneren dan iemand die zuiver op gevoel of berekening afgaat en nooit vraagt naar het waarom.'

De opgespoorde kenmerken in de probleemsituatie dienen als springplank voor het opstellen van plannen, zodat de betekenis van deze kenmerken pas duidelijk wordt in samenhang tot die plannen. Over opsporen gesproken: dat is precies wat de student expliciet moet doen en waar de ervaren probleemoplosser misschien in het geheel niet bewust bij stilstaat. Hetzelfde verschil tussen ervaren en onervaren probleemoplossers zullen we hierna bij het toetsen van opgeworpen plannen tegenkomen.

Plannen. Hoewel de andere stappen uit het aanpakschema niet gemist kunnen worden, zit de crux van het oplossen van een probleem toch wel in het weten op te stellen van plannen. Omdat we niet kunnen veronderstellen dat de probleemoplosser ergens tussen zijn grijze hersencellen een klein mannetje heeft zitten dat via de zintuigen aangereikte problemen van plannen voorziet, zal hier uiteengezet moeten worden hoe plannen dan wel tot stand komen. Twee overwegingen zijn daarbij van belang:

1. De koppeling van kenmerken naar plannen moet duidelijk gemaakt kunnen worden en tevens hoe voorlopige plannen via toetsen uitgewerkt worden tot uitvoerbare plannen.

2. Het gaat hier niet om 'creatief' oplossen van problemen, maar om vaardigheden in aanpakken en oplossen die onderwezen zijn; met name moet de student over nogal wat vakkenkennis beschikken, en zal hij geoefend zijn in het toepassen van die kennis in bepaalde klassen van problemen. Denk daarbij aan de beheersing van begrippen en relaties, zoals in de hoofdstukken 4 en 5 behandeld.

Hiermee is nog niet aangegeven wat hier zoal onder 'plannen' verstaan kan worden. Ik wil beginnen met een voorbeeld:

De schaaktheorie voor gevorderde spelers bevat een klein aantal van deze 'gevolgsregels': er zijn niet veel meer dan een tiental van deze stellingskenmerken, met bij ieder kenmerk een of meer bijbehorende spelstrategieën.

Het behoeft geen toelichting dat het voor de schaakspeler niet voldoende is om deze algemene regels uit het hoofd te leren: hij krijgt er pas enige beheersing over wanneer hij de regels heeft (zien en) leren toepassen. Er is volgens Euwe kennis van zaken, oefening en techniek voor vereist, maar die liggen binnen het bereik van de 'gevorderde' speler. Euwe: 'Is men eenmaal op de hoogte van een sluitende theorie, dan kan men op grond van bepaalde stellingskenmerken vaststellen, welke gedragslijn vereist is. De strategie kan worden uitgestippeld en aldus biedt de theorie voor de praktische partij een flink houvast.' Dat houvast op het probleem is belangrijk, en dat zit voornamelijk in de drastische en rationele inperking van het aantal speelmogelijkheden. De Groot (1978):

Een belangrijk verschil tussen de gevorderde schaker en de schaakmeester zit in het zeer veel grotere aantal stellingskenmerken dat de schaakmeester weet te onderscheiden, mede omdat hij op de hoogte is van wat bij ieder van die spelsituaties een geschikt plan voor spelvoortzetting is. Docenten zijn zich doorgaans heel goed bewust van de analoge situatie ten aanzien van de problemen in het eigen vakgebied: ter behandeling in het onderwijs wordt daar een geschikte maar heel beperkte keuze uit gedaan, zodat de student zich over die klasse van problemen in enkele maanden tijds een redelijke beheersing kan verwerven; voor het verwerven van enig 'meesterschap' zijn immers veeleer jaren van studie en ervaring nodig. Een en ander betekent niet dat de student onmachtig zou zijn om problemen uit een nieuwe klasse aan te pakken: dat zal hem alleen erg veel moeite en vallen en opstaan kosten, omdat hij alles expliciet uit moet zoeken wat de ervaren probleemoplosser bijna onbewust uit zijn mouw kan schudden. Dat is zo bij schaken, en dat zien we in al die vakken waar het oplossen van problemen een prominente plaats in het onderwijs inneemt.

Heeft de analyse op kenmerken ertoe geleid dat het 'type probleem' herkend is en de daarbij vanuit de theorie bekende mogelijke plannen aangegeven zijn, dan zullen deze mogelijke plannen eerst nog getoetst en dan verder uitgewerkt moeten worden. Zo wordt in het schaakspel een gekozen strategie verder uitgewerkt tot een te volgen tactiek:

'Kijken' staat natuurlijk toch voor redeneren, en daar zit bij het schaken een sterke visuele component in. De strategie, het globale plan, wordt uitgewerkt tot de te volgen tactiek. Anders dan Euwe, wil ik eraan vasthouden dat een gekozen tactiek een gedetailleerd plan is. Dit illustreert dat de vorming van een uitvoerbaar plan in fasen kan gebeuren, waarin een eerste globaal plan, na toetsing, uitgebouwd wordt tot een steeds meer gedetailleerd plan. Zo kan het, en zo hoeft het dus niet altijd te gaan. Een omvangrijk probleem kan bijvoorbeeld eerst opgesplitst worden in deelproblemen die achtereenvolgens op te lossen zijn en in die volgorde elkaars oplossing ook mogelijk maken. Het kan ook zijn dat een gedetailleerd plan ontwikkeld moet worden zonder dat een globaal plan al beschikbaar is. Een voorbeeld van het laatste is de schaakstelling die zich niet voor een strategische benadering leent, maar waarin 'een nauwkeurige berekening van de mogelijkheden van het ogenblik vereist is (tactische methode).' Euwe: 'Men spreekt in deze gevallen van combinatiespel, in tegenstelling met het positiespel waar de kenmerken van de stelling de hoofdrol spelen.'

Bij het schaken kan een 'plan' een strategie zijn (globaal plan) of een tactiek (gedetailleerd plan), waarbij de strategie aansluit op de kenmerken van de stelling en de tactiek een uitwerking van de strategie is, waarbij met die kenmerken (en eventuele andere kenmerken) alleen maar rekening gehouden hoeft te worden. Zo zou het aanpakken van problemen in sommige vakgebieden ook beschreven kunnen worden: er worden een beperkt aantal probleemtypen behandeld, waarbij het type herkend kan worden aan bepaalde kenmerken of een configuratie van kenmerken en waarbij een of enkele passende strategieën (globale plannen) horen. Een eenvoudig voorbeeld zijn problemen waarvoor bij een gegeven onderzoekopzet en resultaten daarvan een statistische methode voor het toetsen van de onderzoekhypothese gevonden moet worden (vergelijk 5.2). Plannen kunnen echter nog in vele andere gedaanten voorkomen, waarvan er hier enkele genoemd worden.

Het plan in de gedaante van een voorlopige of hypothetische oplossing. Een goed voorbeeld daarvan vinden we bij diagnostische problemen, waarbij aan de hand van de geanalyseerde kenmerken van de probleemsituatie een aantal mogelijke diagnoses geopperd worden of althans één mogelijke diagnose. De verdere aanpak bestaat dan uit het toetsenderwijs komen tot een definitieve diagnose of toetsenderwijs een globaal gestelde diagnose verder verfijnen.

De koppeling van geanalyseerde kenmerken in de probleemsituatie naar deze voorlopige diagnoses is een heel directe, als zodanig meestal geleerde en geoefende: bij kenmerk A, of configuratie van kenmerken B en C, moeten/kunnen de (globale) diagnoses X en Y overwogen worden. Het 'plan' is hier simpelweg de geopperde diagnose; voor diagnostische problemen zou je in fig. 7.1 in plaats van 'plan' in datzelfde hokje kunnen invullen 'diagnose' of 'differentiaaldiagnose' en dergelijke.

Het metaplan. Bij veel problemen kan niet in een keer een plan voor de oplossing van het probleem in haar geheel gemaakt worden. We zagen dat al bij diagnostische problemen, waarbij de achterliggende bedoeling (het metaplan) is om via toetsing en extra informatieverzameling een steeds betere diagnose te kunnen stellen (rivaliserende diagnoses uit te kunnen schakelen).

Een metaplan is een plan om een probleem op te lossen door eerst bepaalde deelproblemen op te lossen. Dergelijke 'metaplannen' worden eveneens onderwezen, maar dat zal vaak gebeuren in de vorm van gegeven voorbeelden of demonstratie van de bedoelde aanpak. Een voorbeeld is de 'aanwijzing' bij problemen in de thermodynamica om eerst te proberen een of meer geldige wetten (Mettes en Pilot, 1980: kernbetrekkingen) te vinden waarin de gevraagde grootheid voorkomt; dit is een deelprobleem en de oplossing hiervan brengt veelal een nieuw deelprobleem met zich mee omdat er in de zo gevonden wet of wetten nieuwe onbekenden voorkomen, waarvoor op dezelfde wijze nieuwe en geldige wetten gevonden moeten worden. Het metaplan is om op dezelfde wijze een aantal wetten (kernbetrekkingen, vergelijkingen) te vinden, waarmee het in beginsel mogelijk moet zijn om de gevraagde onbekende uit te drukken in termen van hetgeen gegeven is of aangenomen mag worden. De volgende stap in dit metaplan is het vinden van de wiskundige bewerkingen die tot dat verlangde resultaat kunnen leiden. Ieder van deze deelproblemen laat zich afzonderlijk in het schema van fig. 7.1 afbeelden. In het beschreven thermodynamicaprobleem wordt de oplossing geleidelijk opgebouwd uit de oplossing van de achtereenvolgens aangepakte deelproblemen. In andere gevallen kan het zijn dat deelproblemen los van elkaar worden opgelost en dat vervolgens uit deze deeloplossingen nog een oplossing voor het gehele probleem gevonden, geconstrueerd of samengesteld moet worden.

Andere metaplannen zijn: bij een nieuw type probleem eerst nagaan of er analoge of verwante problemen bekend zijn waarvoor een oplossingsroute al bekend is; proberen een complex probleem te versimpelen, bijvoorbeeld eerst een speciale variant of een extreem geval aan te pakken en vandaaruit terug te keren naar het meer algemene of complexe probleem; eerst een model maken en daarmee experimenteren of eerst een simulatie uitvoeren. Het zal duidelijk zijn dat metaplannen gemakkelijk de vorm kunnen aannemen van specifieke methoden voor het aanpakken van problemen, bijvoorbeeld voor bewijsproblemen de techniek 'bewijzen vanuit het ongerijmde'. Ook voor deze metaplannen geldt dat de student daarmee heeft leren werken, ze in zijn repertoire van aanpaktechnieken heeft opgenomen, voor zover de problemen ten minste in een (eind)toets met behulp van dergelijke metaplannen aangepakt moeten kunnen worden.

De koppeling van kenmerken naar plannen, welke bepaalde vorm die 'plannen' ook mogen hebben, heeft als basisvorm: 'als dit, doe of zoek dan dat', 'als je dit symptoom tegenkomt, check dan altijd deze mogelijke diagnose'. In de psychologische (en Kunstmatige-Intelligentie) literatuur over het oplossen van problemen worden deze conditie-actie-paren aangeduid met de technische term 'produkties'. Dergelijke produkties zijn de bouwstenen van computerprogramma's voor het oplossen van problemen waarbij met een groot kennisbestand wordt gewerkt, bijvoorbeeld voor het stellen van diagnoses (zie Buchanan en Duda, 1982 pdf, voor een overzicht van dergelijke computerproduktiesystemen).

Het vervelende van die koppeling van kenmerken naar plannen is nu dat het in het onderwijs nog vaak voorkomt dat de leerstof niet in de daartoe juiste vorm wordt aangeboden of door de studenten wordt verwerkt. Het gaat erom dat bij een gegeven kenmerk de bijpassende informatie geproduceerd moet kunnen worden, maar dat hoeft niet de manier te zijn waarop de student die informatie beheerst! Het maakt veel verschil of men leert bij een bepaald symptoom altijd aan een bepaalde mogelijke diagnose te denken of dat men leert dat die diagnose past bij kenmerken zus en zo. Immers, wie leert bij een bepaald kenmerk altijd diagnose X te overwegen, hoeft bij ieder nieuw geval waarin zich dat kenmerk voordoet niet eerst te zoeken onder alle mogelijke ziektebeelden totdat de 'passende' diagnose X gevonden wordt. Wie leert bij ieder ziektebeeld op te sommen in welke gevallen dat als diagnose geopperd kan worden en niet het omgekeerde, zal in ieder nieuw geval alle ziektebeelden langs moeten zoeken om mogelijk passende te 'vinden'.

Hier ligt een van de oorzaken waarom studenten onverwacht veel moeite kunnen hebben met het toepassen van hun kennis bij het oplossen van problemen (zie ook Simon, 1980).

Toetsen. Een geopperd plan hoeft nog geen goed plan te zijn en om daar achter te komen is het doorgaans niet nodig om te proberen het plan uit te voeren. Een voorlopige diagnose wordt meestal niet op haar juistheid getoetst door te kijken of de patiënt goed reageert op de medische behandeling die bij die diagnose behoort. Nee, het algemene stramien is dit: bepaalde kenmerken leiden tot een of meer globale plannen, en of een globaal plan 'past' bij het onderhavige probleem wordt getoetst door na te gaan of in de probleemsituatie bepaalde andere kenmerken voorkomen. Bijvoorbeeld: wil deze voorlopige diagnose mogelijk juist zijn, dan moet een bepaald laboratoriumonderzoek leiden tot dit specifieke resultaat. Een juridisch voorbeeld (Crombag c.s., 1972):

Voor een natuurkundig probleem geeft Larkin (1981) de volgende beschrijving:

Wat de deskundige hier 'automatisch' doet, is het toetsen van het voorlopige plan. De nog niet zo goed ingevoerde student zal dat niet 'automatisch' kunnen. Larkin:

Wat de ervaren oplosser 'automatisch' en pijlsnel doet, moet de onervaren oplosser heel bewust en enigszins moeizaam doen. Dat is vaak ook het verschil tussen de docent en zijn studenten, en dat kan het onderwijzen van het aanpakken en oplossen van problemen bemoeilijken. In stappenschema's voor het aanpakken van juridische casus (Crombag c.s., 1972), problemen in de thermodynamica (Mettes en Pilot, 1980) of bestuursproblemen (Terlouw e.a., 1981) wordt dan ook veel aandacht aan dergelijke expliciet door de student uit te voeren toetsen gegeven.

Een bijzondere vorm van toetsen is die waarbij blijkt dat de probleemstelling onvoldoende informatie bevat om de toets uit te kunnen voeren. Dat kan ertoe leiden dat voor het ontbrekende gegeven een bepaalde aanname gedaan wordt.

Het is niet altijd mogelijk om ieder plan meteen volledig te toetsen. Het opwerpen van plannen en bijstellen van plannen gaat in voortdurende wisselwerking met die toetsen die wel uitgevoerd kunnen worden. Dat kan er dus toe leiden dat meerdere plannen tegelijkertijd gehandhaafd worden en steeds verder uitgewerkt, totdat er voldoende informatie uit verdere toetsing is verkregen dat het mogelijk wordt om bepaalde plannen definitief te laten varen.

Het expliciet uitvoeren van de stappen: analyse op kenmerken—plan opperen—toetsen, is van buitengewoon belang bij het aanpakken van problemen. Het is een veel voorkomende beginnersfout om na het lezen van de probleemstelling meteen een oplossing te gaan uitwerken. In de thermodynamica uit zich dat in het te snel overgaan tot het manipuleren van formules en reduceren van het aantal onbekende grootheden (en zonder een geschikt plan mislukt dat meestal).

Uitvoeren—antwoord—toetsen. Is er een voldoende gedetailleerd plan opgesteld, dan is het uitvoeren van het plan, eventueel het formuleren van het antwoord, en het toetsen of het antwoord voldoet als antwoord op het gegeven probleem niet 'problematisch' meer. Mettes en Pilot (over problemen in de thermodynamica) spreken over het 'uitvoeren van standaardbewerkingen'. Het kan blijken dat het plan ondeugdelijk is, dat het geen antwoord oplevert, of een ondeugdelijk of onaanvaardbaar antwoord; dan wordt een beter plan gezocht, eventueel na een nieuw onderzoek naar relevante kenmerken in de probleemsituatie. Meestal wordt voor het uitvoeren, formuleren van het antwoord en toetsen van het antwoord, aanspraak gedaan op bekende en geoefende technieken en vaardigheden (wiskundige technieken bijvoorbeeld).

7.2 Inventarisatie

De vuistregels voor het stellen van problemen, die in de volgende paragraaf worden gegeven, worden toegepast op 'de leerstof'. Het zal doorgaans nodig zijn om 'de leerstof' op een geschikte manier te beschrijven of te inventariseren om efficiënt met die vuistregels te kunnen werken. Het ligt voor de hand om te inventariseren naar de verschillende onderdelen in het schema van fig. 7.1 aangegeven. Inventariseren hoeft niet hetzelfde te zijn als het verzamelen en ordenen van 'oude' problemen, maar dat laatste zal wel een heel zinnige aanvulling van en controle op de inventarisatie kunnen vormen.

Verschillende werkwijzen zijn mogelijk. Zo kunnen eerst 'oude' problemen geanalyseerd worden op relevante kenmerken, plannen, toetsen enz. Beter lijkt het om die 'oude' problemen te gebruiken als controle achteraf op de eerst alleen op grond van analyse van de leerstof te verrichten inventarisatie. Zo kan een logische of a-priori-inventarisatie aangevuld worden met al hetgeen uit de 'oude' problemen blijkt ook nog gevraagd te worden.

Kenmerken. Om de relevante kenmerken van een probleemsituatie te identificeren, moet het probleem behoorlijk geanalyseerd worden, moeten er misschien tekeningen, schema's of vertalingen gemaakt worden. Zie voor deze zaken wat in voorgaande hoofdstukken behandeld is (vooral 5.1, 6.3 en 6.4). Probeer nu een opsomming te maken van alle mogelijk voorkomende kenmerken die van belang kunnen zijn bij het kiezen van plannen. Zo geeft bijvoorbeeld Euwe (1966) een opsomming van stellingskenmerken, waar de gevorderde schaakspeler op aan moet sluiten bij de keuze van een strategie, dat is een plan voor de voortzetting van de partij. In de medische diagnostiek kan, ten minste voor deelgebieden, een opsomming gemaakt worden van de belangrijke kenmerken, symptomen of syndromen, die goede aanknopingspunten voor voorlopige diagnoses bieden.

Maak zonodig onderscheid tussen kenmerken waarop direct met mogelijke plannen kan worden aangesloten en kenmerken die het mogelijk maken om allereerst het type of de klasse van het voorgelegde probleem te bepalen (waarna dan mogelijk andere kenmerken van belang zijn om binnen dat type probleemstelling tot de keuze van mogelijk bruikbare plannen te komen). Dit onderscheid is bijvoorbeeld te vinden bij Mettes en Pilot, 1980: 'mogelijk bruikbare kernbetrekkingen (= 'deelplannen') kunnen gekozen worden vanuit 'één of enkele thermodynamische kenmerken (type systeem, proces, enz,)' of 'vanuit een typering van het vraagstuk als geheel (bijvoorbeeld een "typisch Eerste Hoofdwet probleem", een evenwichtsvraagstuk)'.

Sluit bij het inventariseren aan op de aard van de betreffende klasse van problemen. Bijvoorbeeld: thermodynamicaproblemen, althans in de analyse van Mettes en Pilot, zijn beter aan te pakken door te werken vanuit het gevraagde dan door te werken vanuit de gegevens, zodat vaak het gevraagde het eerste kenmerk is dat als ingang voor het zoeken naar een bruikbaar plan (kernbetrekking) dient. De kenmerken van de gegevens dienen dan om overwogen plannen (kernbetrekkingen) te kunnen toetsen op hun geldigheid en bruikbaarheid.

Een enigszins volledige lijst van mogelijk leidende kenmerken en van tenminste zijdelings relevante kenmerken kan opgesteld worden door er de theorie van het desbetreffende vak op door te nemen. Dat hoeft niet meteen ook een volledige lijst op te leveren: het kan zijn dat andere onderdelen in de inventarisatie wijzen op andere kenmerken die nog aan deze lijst toegevoegd moeten worden. Ook kan bij het analyseren van 'oude' problemen blijken dat de gemaakte lijst nog verder aan te vullen is.

Plannen. Een eerste lijst van mogelijke plannen kan opgesteld worden door er de theorie van het betreffende vak op door te nemen. Dat levert bijvoorbeeld alle mogelijke globale diagnoses op of alle belangrijke wetten, technieken en instrumenten (zoals de kernbetrekkingen in de thermodynamica).

Voordat zo'n lijst van plannen afgezet wordt tegen de lijst kenmerken kan het wenselijk zijn eerst enige ordening in die misschien wel erg heterogene verzameling van plannen te brengen. Misschien zit er een bepaalde logische structuur in, die zeker bij het oplossen van problemen uitgebuit zou kunnen en moeten worden. Wanneer een vak erg rijk is aan wetten of kernbetrekkingen kan het zijn dat een aanzienlijk deel van die wetten zich af laat leiden van wetten uit een veel kleinere groep. Zie voor dit soort overwegingen ook Mettes en Pilot (1980, blz. 100 e.v.). Om nu een goed overzicht te krijgen van alle relevante koppelingen van kenmerken naar mogelijke plannen kan daarvoor een kruistabel worden gemaakt, met bijvoorbeeld horizontaal de rij kenmerken of clusters van kenmerken en verticaal de rij plannen (wetten, technieken, ziektebeelden enz.).

Bij een andere wijze van inventariseren worden bij ieder gegeven kenmerk alle mogelijke bruikbare plannen gezocht. Deze aanpak ligt vooral dan voor de hand wanneer de leerstof ook al op deze wijze is georganiseerd. Welke werkwijze ook gevolgd wordt, verbind altijd de kenmerken aan de plannen, want dat is waar het in deze fase van de probleemaanpak om gaat. Het overzicht dat hieruit ontstaat, bij voorkeur in de vorm van een kruistabel, biedt de mogelijkheid om op een andere wijze nog eens systematisch na te gaan of er nog leemten zijn, of er bepaalde eigenaardigheden in dit overzicht zitten, of een en ander zich goed verhoudt tot wat de doelen van het onderwijs zouden behoren te zijn, en dergelijke.

In het bijzonder zou zo wel eens ontdekt kunnen worden dat het onderwijsprogramma een te rijke inhoud heeft om voor studenten nog overzichtelijk te kunnen zijn.

Toetsen. Opgeworpen plannen moeten getoetst worden op hun geldigheid of mogelijke bruikbaarheid.

Het toetsen van plannen gebeurt altijd tegen bepaalde kenmerken van de probleemsituatie; dat kunnen dus heel andere kenmerken zijn dan de kenmerken die allereerst van belang zijn bij het kiezen van plannen. Wanneer deze kenmerken op een of andere wijze al in de gegevens van de probleemstelling voorkomen, is de controle meestal eenvoudig te verrichten (en is het allerbelangrijkste dat die toets wordt uitgevoerd). Het kan zijn dat voor het produceren van de gevraagde kenmerken een analyse van de probleemstelling nodig is.

Lastiger is het toetsen van de geldigheid van plannen wanneer de daartoe benodigde informatie over kenmerken niet (na analyse) waarneembaar of gegeven blijkt te zijn. Soms moet die informatie dan ingewonnen worden, door navragen, onderzoek , raadplegen van tabellen en dergelijke. Denk bijvoorbeeld aan het extra (laboratorium)onderzoek dat nodig kan zijn om een opgeworpen diagnose op mogelijke juistheid te toetsen. Bij de inventarisatie kan het er niet alleen om gaan voor ieder mogelijk plan op te sommen aan welke voorwaarden de probleemsituatie moet voldoen, wil het plan mogelijk bruikbaar zijn, maar daar ook deze complicaties aan toe te voegen: op welke manieren informatie die niet gegeven is toch door verder onderzoek en dergelijke geproduceerd moet kunnen worden.

Sommige voorwaarden zijn binnen een gegeven probleemstelling niet te toetsen, eenvoudig omdat de nodige gegevens ervoor definitief ontbreken of omdat een onderzoek veel te kostbaar, tijdrovend, pijnlijk of iets dergelijks zou zijn. Geef dan aan hoe met die voorwaarden dan wel omgegaan moet worden. Meestal zal de student er dan een bepaalde aanname over moeten doen, eventueel ondersteund door argumentatie of door een onderzoekje naar tenminste de globale aanvaardbaarheid van die aanname in die situatie. Aannames die regelmatig voorkomen bij problemen in het betreffende vakgebied horen in de inventarisatie opgenomen te worden. Wanneer er geen aannames gemaakt kunnen of mogen worden, zal de betreffende voorwaarde op een andere manier in de aanpak en de oplossing van het probleem meespelen. Misschien moet deze voorwaarde beredeneerd kunnen worden uit andere beschikbare gegevens: als noodzakelijkerwijs een van drie mogelijkheden het geval is en je kunt er twee uitsluiten, dan is de derde mogelijkheid het geval. Of het probleem moet verder aangepakt kunnen worden zonder aanvankelijk deze voorwaarde te kunnen toetsen, omdat de nodige informatie pas later beschikbaar komt of omdat de uitkomst zelf als toets dient; een speciale en mogelijk veel voorkomende vorm is het louter algebraïsch in de verdere berekeningen meenemen van een grootheid die niet bepaald kan worden.

Uitvoeren, antwoord en toetsen. Het gaat hier om het opsommen van de technieken of vaardigheden die nodig zijn bij het uitvoeren van uiteindelijk gekozen en uitgewerkte plannen. Soms is zo'n plan tevens het 'antwoord', zoals een definitieve diagnose dat is (de behandeling die aansluit op de diagnose wordt meestal als een afzonderlijk 'probleem' gezien). Maar meestal vraagt juist de uitvoering om een vrij grote vaardigheid in het hanteren van speciale technieken, zoals het oplossen van problemen in de thermodynamica nogal veel wiskundige routine vraagt. Wanneer er sterke relaties zijn tussen bepaalde plannen en bepaalde technieken neemt de inventarisatie deze bij elkaar op; in het andere geval kan volstaan worden met een algemeen geldende lijst van te beheersen technieken enz.

Wanneer er voor de controle van de redenering, de tussenresultaten of het eindresultaat bepaalde welomschreven handelingen verricht of technieken toegepast moeten worden, dan horen die in de inventarisatie thuis. Lastiger is het wanneer antwoorden niet eenduidig goed zijn, maar op aanvaardbaarheid beoordeeld moeten worden. Zijn daar bepaalde criteria voor gegeven, dan horen die in de inventarisatie, eventueel gekoppeld aan die bepaalde problemen of typen antwoorden waar ze alleen voor gelden. Zijn dergelijke criteria niet expliciet gegeven en moet de student zijn antwoord toch waarderen naar eisen die gewoonlijk in dat vakgebied gesteld worden, eisen die docenten plegen te hanteren of eisen die de student zelf moet kunnen formuleren, dan moet iets daarvan in de inventarisatie toch nader omschreven worden.

'Oude' problemen. Verzamel 'oude' problemen, orden deze op onderwerp, type of iets dergelijks. Analyseer problemen en oplossingen in de termen van fig. 7.1 en leg de resultaten van deze analyses naast de al gemaakte inventarisatie.

De vergelijking zal erin resulteren dat de inventarisatie hier en daar uitgebreid zal worden met punten die aanvankelijk over het hoofd zijn gezien. Het kan echter ook zijn dat de inventarisatie veel 'breder' is geweest dan blijkens de vragen in de praktijk nodig was geweest, en dan kan er gesnoeid worden. Een verschil tussen inventarisatie en wat er in de praktijk gevraagd blijkt te worden, kan natuurlijk ook wijzen op bepaalde leemten in het scala van problemen dat aan studenten wordt voorgelegd, dan moeten er problemen gevonden worden die in deze leemten passen, en daartoe kunnen de vuistregels in de volgende paragraaf gebruikt worden. Bij het stellen van nieuwe problemen kan een overzichtelijk geordende verzameling van de oude problemen overigens heel goede diensten bewijzen.

7.3 Vuistregels

De uiteenzetting over problemen, hun aanpak en oplossing in 7.1 en de daarop aansluitende inventarisatie, bieden veel nieuwe handvatten bij het bedenken en stellen (formuleren) van nieuwe problemen. In deze paragraaf worden een aantal vuistregels gegeven die het stellen van problemen vergemakkelijken en richting geven. Dat gaat zowel over 'ideeën' voor nieuwe problemen, als over een techniek om nieuwe problemen te 'construeren'.

Een 'idee' voor een probleem. Een 'idee' voor een probleemstelling is bijvoorbeeld een concrete probleemsituatie of een bepaalde combinatie van een situatie met een bepaald kenmerk en een bruikbaar plan. Het zoeken naar een idee voor een nieuw te stellen probleem wordt dan het zoeken naar een dergelijke nieuwe situatie of een aardige combinatie. Probeer in ieder geval te omschrijven wat in termen van fig. 7.1 een 'idee' voor een nieuw probleem is, omdat daardoor het zoekproces in de literatuur enz. richting krijgt.

Een altijd bruikbare bron voor ideeën zijn andere studieboeken dan die welke door studenten gebruikt worden. Niet omdat de theorie daarin op iets andere wijze gepresenteerd wordt, maar omdat de daarin opgegeven problemen bruikbare ideeën voor nieuw te stellen eigen problemen kunnen bevatten.
Niet alleen eigentijdse, maar ook verouderde studieboeken kunnen daarvoor gebruikt worden. Problemen zijn niet altijd direct herkenbaar als mogelijk bruikbaar, maar moeten eerst uitgewerkt, opgelost en geanalyseerd worden op relevante kenmerken, bruikbare en onbruikbare plannen en dergelijke; deze inspanningen vormen geen verloren tijd en energie, omdat ze meteen het materiaal voor het modelantwoord opleveren.

Artikelen in de vakliteratuur vormen een onuitputtelijke bron voor ideeën. Voor sommige vakken, zoals rechten, levert zelfs de dagbladpers talrijke bruikbare thema's. Het zoeken in deze bronnen gebeurt met enig overleg, bijvoorbeeld met het oog speciaal gericht op de probleemsituaties die erin beschreven worden, de plaats van de probleemkenmerken, de gebruikte en eventueel de verworpen plannen. Problemen uit de vakliteratuur zijn natuurlijk niet zonder meer geschikt om studenten in een toetssituatie voor te leggen, maar het aanbrengen van vereenvoudigingen, het aanreiken van extra gegevens en het geven van aanwijzingen kunnen daar veel aan veranderen. De beroepspraktijk, indien van toepassing, is een voor de hand liggende bron van ideeën. Het zal vaak mogelijk zijn om enigszins stelselmatig te inventariseren welke verschillende typen problemen zich voordoen, welke varianten er binnen ieder type te verwachten zijn en in welk scala van concrete situaties die problemen zich kunnen voordoen. Vakken waarin zo'n stelselmatige benadering mogelijk is (denk aan geneeskunde), zullen de leerstof in niet geringe mate al op deze wijze geordend hebben.

Een aardige bron voor nieuwe ideeën is te vinden in de geschiedenis van het betreffende vak. En dan niet alleen de experimenten en theorieën die deze 'geschiedenis gemaakt hebben', maar ook de minder bekende, meer alledaagse worsteling met de problemen van het vak. Wanneer enige historische verdieping tot de onderwijsdoelen behoort, kan dat fraai met het aanpakken en oplossen van problemen gecombineerd worden. Overigens zal verrassend vaak een sterke overeenkomst blijken te bestaan tussen de problemen waarmee vakgenoten in een grijs verleden dagelijks bezig waren en de problemen waar studenten zich nu vertrouwd mee moeten maken; ook dat kan uitgebuit worden bij het zoeken naar ideeën voor nieuw te stellen problemen.

Studenten kunnen zelf nieuwe problemen, of ten minste nieuwe probleemsituaties aandragen. Die zijn weliswaar niet onmiddellijk bruikbaar, maar kunnen wel bewaard worden om er voor studenten in latere jaren nieuwe problemen uit te construeren.

Een heel andere ingang voor het vinden van ideeën is niet in de inhoud van problemen gelegen, maar in de aard ervan. Dit is verwant aan de nog te behandelen mogelijkheid tot het stellen van deelproblemen. Een illustratieve opsomming:

• niet zelf een probleem laten aanpakken, maar een gegeven oplossing laten controleren, bekritiseren, verbeteren of er alternatieve mogelijkheden voor aan laten geven;
• laten verklaren waarom een gegeven resultaat kan gelden voor een eveneens gegeven probleemstelling (analoog aan bewijsopgaven in de wiskunde); het laten verklaren van verschijnselen;
• een opstel laten maken over een opgegeven thema (dit hoeft niet alleen voor het taalonderwijs een relevant type probleemstelling te zijn);
• - een onderzoekopzet laten ontwerpen bij een gegeven theoretische veronderstelling, te verklaren verschijnsel enz,;
• de resultaten van een gegeven onderzoek laten bespreken, afwijkingen van de verwachte resultaten laten verklaren, alternatieve veronderstellingen laten produceren, een goede voortzetting voor het onderzoek laten bedenken.

Nieuwe problemen construeren. De wetenschap verlegt grenzen: voor ieder opgelost probleem komen er wel enkele nieuwe in de plaats. Maar dit zijn niet de problemen die studenten in een afsluitende toets moeten kunnen oplossen. Integendeel, in het onderwijs gaat het erom studenten door oefening vertrouwd te maken met bepaalde typen problemen. Een nieuw probleem kan dan nog wel moeilijk blijken voor de goed geoefende student, maar het mag hem niet meer voor verrassingen plaatsen. Welnu, het valt te verwachten dat dergelijke problemen op enigszins stelselmatige wijze geconstrueerd kunnen worden op grond van het materiaal dat in de inventarisatie verzameld is. Neem bijvoorbeeld diagnostische problemen. In beginsel kunnen alle mogelijke 'plannen' ofwel diagnoses opgespoord worden, in ieder geval die welke in het studieboek en in het onderwijs behandeld zijn. Bij iedere diagnose kan aangegeven worden bij welke symptomen enz. deze diagnose in ieder geval geopperd en overwogen moet kunnen worden. Dan kan bij ieder koppel van kenmerk (symptoom) met plan (diagnose) een groot aantal bijpassende problemen gesteld worden door concrete situaties te inventariseren of te bedenken waarin dat bepaalde kenmerk op een relevante manier voorkomt. Ik leg de nadruk op concreet, en verwijs naar wat er in voorgaande hoofdstukken al is opgemerkt over het belang van het werken met concrete situaties in tegenstelling tot in abstracte termen beschreven situaties. Omdat er bij een gegeven plan (diagnose) meerdere kenmerken als aanknopingspunt zouden kunnen fungeren, ontstaat bij het construeren van concrete probleemsituaties de uitwaaiering die in fig. 7.2 in beeld is gebracht.

Volgens het schema van fig. 7.2 geconstrueerde problemen zijn niet zonder meer bruikbaar. De richting van de constructie is precies omgekeerd aan de richting waarin de student het probleem moet aanpakken. Daarom moet het geconstrueerde probleem nog geanalyseerd worden op het voorkomen van andere kenmerken die voor het zoeken naar plannen van belang kunnen zijn, plannen die daar bij passen en de wijze waarop de onbruikbaarheid van die plannen getoetst kan worden, en dergelijke. Ook wanneer de constructie van nieuwe problemen vertrekt vanuit een inventarisatie van concrete situaties, moeten de voor de hand liggende, maar onbruikbare plannen in de analyse betrokken worden. Constructie en analyse verlopen zodoende tegengesteld, ze geven aanleiding tot verschillende waaiers van mogelijkheden zoals vergelijking van Figuur 1 met Figuur 2 laat zien.

Figuur 1. Constructie van een probleemstelling.

Het belang van een analyse zoals die welke in Figuur 2 abstract is aangegeven, is duidelijk. Zo wordt een beeld verkregen van hoe complex het probleem voor de student is, welke plannen de student door middel van de bijbehorende toetsen moet weten uit te sluiten voor het geval hij niet meteen het 'juiste' kenmerk met het geschikte plan kiest. Op professioneel niveau is dit exact uitgewerkt te vinden in de literatuur over diagnostiek met hulp van expert systemen (zie Olaf Schröder e.a. (1996) http://lls.informatik.uni-oldenburg.de/dokumente/1996/96_icls/96_icls.html [dode link? 1-2009] als ingang tot de literatuur).

Figuur 2. Analyse van een ontworpen probleemstelling.

De analyse levert belangrijke aanwijzingen voor de definitieve inkleding van een probleemstelling. Het is al gauw noodzakelijk om een eerste probleemformulering uit te breiden met informatie of bepaalde aanwijzingen die in ieder geval een aantal plausibele maar toch onbruikbare plannen meteen uitsluiten. De analyse moet duidelijk maken dat noodzakelijke informatie voor het toetsen van alle mogelijke plausibele plannen in de probleemstelling of anderszins beschikbaar is, ook voor plausibele plannen die onbruikbaar zijn en juist door middel van toetsing uitgesloten moeten kunnen worden. Informatie die blijkt te ontbreken kan dan alsnog worden toegevoegd. Ondanks zo'n zorgvuldige analyse moet er nog een onafhankelijke controle op de bruikbaarheid van de ontworpen probleemstelling worden uitgevoerd, bijvoorbeeld door het probleem door een of meer collega's te laten oplossen (zie ook hoofdstuk 8). Vraag die collega's dan ook om aan te geven welke plausibele plannen zij nog meer 'gezien' hebben naast hun eigen bruikbare plan, ook in die gevallen waarin zij zelf onmiddellijk een bruikbaar plan 'zagen'.

Deze methode voor het construeren van problemen is voor het ene vakgebied meer zinvol dan voor het andere. Maar ook wanneer deze wijze van construeren minder handig is, kan de analyse uit fig. 7.3 niet gemist worden. Het contrast tussen fig. 7.2 en fig. 7.3 maakt duidelijk dat het onderschatten van de moeilijkheid van een probleem anders onontkoombaar is. Hier doet zich hetzelfde gezichtsbedrog voor als bij het kennisnemen van de oplossing van een gegeven probleem: wie eenmaal de oplossing heeft gezien, is vaak op stel en sprong vergeten welke doodlopende wegen de student te gaan heeft voordat hij het juiste plan geïdentificeerd heeft.

In het bovenstaande is aan het uitvoeren geen afzonderlijke aandacht besteed. Wanneer het uitvoeren van plannen zijn eigen problematische aspecten heeft, kunnen 'uitvoeringsproblemen' op dezelfde wijze geconstrueerd worden als hiervoor beschreven is voor problemen in het algemeen. Met uitzondering van moeilijkheden die liggen in het vinden van de juiste combinatie (tactieken!) of in het opzetten van een juiste redenering.

Deze constructieve benadering is een variant op de methode van de rompvragen (zie 2.5). Een koppel van een kenmerk met een passend plan kan men opvatten als een rompprobleem, een abstract probleem dat vraagt om verdere invulling of concretisering. De constructieve methode doet dan ook enige aanspraak op het vermogen van de docent-deskundige om concrete probleemsituaties te kunnen bedenken of verzamelen bij zo'n abstract 'rompprobleem'.

Het concrete karakter van probleemsituaties is van groot belang, maar is ook een bron van moeilijkheden voor de student. De wetten, regels, mogelijke diagnoses en behandelingen uit het tekstboek zien er overzichtelijk uit, zijn gemakkelijk te leren, maar zeer moeilijk onder de knie te krijgen in die zin dat ze ook op heel uiteenlopende concrete situaties toegepast kunnen worden. Larkin (1981) zegt hierover:

Het feit dat bij het aanpakken van problemen de student 'spontaan' een concrete situatie moet weten te vertalen naar de relevante symbolen, maakt het er voor hem niet gemakkelijker op.

Modelantwoord.

Lees deze passage niet als een aansporing tot bureaucratie.

Voor het nakijken van antwoorden moet een modelantwoord beschikbaar zijn. Dat modelantwoord kan in grote lijnen opgezet worden volgens het schema in fig. 7.1. Het modelantwoord geeft uiteraard weer hoe de juiste aanpak en oplossing eruitziet, uitgesplitst naar kenmerken, plan, toets op het plan, uitvoering en controle op het antwoord. Eventueel worden alternatieve, ook aanvaardbare oplossingen eveneens expliciet uitgewerkt. Daarnaast zal er soms reden zijn om in het modelantwoord ook aan te geven welke onbruikbare plannen de student moet weten te toetsen en af te wijzen. Het modelantwoord moet voldoende gedetailleerd zijn om er het beoordelingsvoorschrift (zie onder) op te kunnen baseren. Het modelantwoord maakt integraal onderdeel van de probleemstelling uit en de controle op die probleemstelling, bestaande uit antwoorden die door collega's worden gegeven, zal vaak aanleiding geven om het modelantwoord bij te stellen of uit te breiden met aanvaardbare varianten.

Na afloop van de toets kunnen de modelantwoorden (en de beoordelingsvoorschriften die erbij horen) aan de studenten gegeven worden.

Beoordelingsvoorschrift. Het beoordelingsvoorschrift legt vast hoe het nagekeken antwoord gescoord wordt. De puntentoekenning voor de verschillende onderdelen van aanpak en oplossing wordt bij voorkeur tot in enig detail vastgelegd, waarbij u op het eigen oordeel over het belang van de onderscheiden stappen moet afgaan. Deze puntentoekenning heeft een enigszins subjectief karakter en dat is ook een belangrijke reden om de puntentoekenning tevoren vast te leggen, zodat verschillende beoordelaars wat dit betreft ieder antwoord even 'streng' zullen beoordelen. Wanneer er nogal wat ruimte is voor verschillen van inzicht in de zwaarte van bepaalde onderdelen van het modelantwoord, kan gebruik worden gemaakt van dezelfde methode als die in hoofdstuk 8 voor de controle op toetsvragen wordt gegeven: laat collega's niet alleen de problemen beantwoorden, maar daarbij ook de volgens hen meest gewenste puntentoekenning voor onderdelen van het antwoord aangeven. De resultaten van dit 'experiment' zullen in ieder geval stof tot overleg geven en soms reden tot bezinning over de leerstof. Wanneer er een goede overeenstemming tussen onafhankelijk werkende collega's is, kan het beoordelingsvoorschrift conform het gezamenlijk oordeel worden opgesteld.

Wanneer er op bepaalde punten nogal verschil van inzicht bestaat, ligt het in de rede de achtergronden van die meningsverschillen te onderzoeken en al naar gelang de uitslag van dat overleg het beoordelingsvoorschrift vast te stellen. Stelregel hierbij moet zijn dat de student het voordeel van enig meningsverschil tussen deskundige beoordelaars toebedeeld moet krijgen, omdat er nu eenmaal niet getoetst wordt op het vermogen in de ziel van beoordelaars te kijken.

Een speciaal aandachtspunt vormt de doodgelopen probleemaanpak: de student heeft bijvoorbeeld geen bruikbaar plan kunnen opstellen en daardoor ook geen oplossing kunnen geven. Enige waardering voor het weten te genereren en toetsen van plausibele maar weliswaar onbruikbare plannen kan wel gegeven worden, maar daar houdt het dan wel mee op. Komt het vaak voor dat studenten al in het begin van de probleemaanpak blokkeren, dan is te overwegen of het niet beter is van deelproblemen (zie hieronder) gebruik te maken, want dan zijn de gevolgen voor de student minder rampzalig. Minder ernstige varianten zijn die waarbij de student al vroeg een fout maakt, maar daarna toch op correcte wijze verder naar een oplossing heeft toegewerkt (een oplossing die op zich natuurlijk niet goed is); of waarbij de student de waarde van een bepaalde onbekende niet heeft kunnen vinden en deze onbekende verder als algebraïsche variabele in zijn berekeningen heeft meegenomen.

Deelproblemen. Het is altijd aardiger om te werken met problemen die van de eerste analyse af tot en met de controle op het resultaat beantwoord moeten worden. Maar het is vaak efficiënter om in plaats daarvan te werken met deelproblemen waarin maar een of twee kritische stappen gevraagd worden. Is het een belangrijk onderwijsdoel dat in concrete probleemsituaties de kenmerken goed worden onderscheiden, dan is het redelijk om in de toets die problemen op te nemen met alleen de vraag naar die bepaalde kenmerken, met weglaten van plannen, toetsen, uitvoeren en controleren. Het weglaten van veel tijd vragende berekeningen is al heel gebruikelijk in de vorm waarbij de inkleding van het probleem zo wordt gekozen dat de berekening gedaan kan worden met 'gemakkelijke' getallen, maar waarom zou men dan niet volstaan met alleen een goed plan voor de oplossing te vragen? Talrijke varianten voor deelproblemen zijn mogelijk, waarbij de zwaartepunten in de onderwijsdoelen aangeven op welke punten die deelproblemen toegespitst kunnen worden. De toets kan zodoende veel scherper toegesneden worden op die onderwijsdoelen.

Moeilijkheidsvarianten. Naast het opsplitsen tot deelproblemen zijn er talrijke andere mogelijkheden om de moeilijkheid van (deel)problemen te manipuleren: geven van extra aanwijzingen, verwerken van irrelevante informatie in de probleemstelling, beschikbaar stellen van naslagwerken, concrete probleemsituaties die meer dan wel minder gewoon of kenmerkend zijn, en dergelijke. Deze mogelijkheden zijn ook in voorgaande hoofdstukken al uitgebreid gegeven. Wees altijd bedacht op het gemak waarmee de moeilijkheid van een bepaald probleem onderschat kan worden en houd daarbij fig. 7.2 en fig. 7.3 voor ogen.

7.4 Literatuur

In 1982 is dit hoofdstuk geschreven op basis van een kleine set onderliggende publicaties, en goede kennis van het psychologisch onderzoek over probleemoplossen, waaronder veelbelovend onderzoek van collega's in Leiden en Twente. Voor de herziening is het nodig de literatuurbasis te actualiseren en uit te breiden.

Voor annotaties bij de hier gegeven literatuur zie annotaties, voor meer literatuuropgaven zie meer literatuur en het literatuurbestand dat ik met het oog op het reken- en wiskundeonderwijs aanleg hier.

Bruce G. Buchanan and Richard O. Duda (1982). Principles of rule-based expert systems. Heuristic Programming Projec Report no. HPP-82-14. pdf

Ulrich Daepp and Pamela Gorkin (2003). Reading, writing, and proving. A closer look at mathematics. Springer.

• Gebruikt consistent Pólya's aanpak voor probleemoplossen. Voor wiskunde is dat ook glashelder te doen, maar ik zie niet in waarom dat voor andere vakken anders zou moeten zijn.

Adriaan D. de Groot (1946). Het denken van den schaker. Een experimenteel psychologische studie. Amsterdam: Noord-Hollandsche Uitgevers maatschappij. dbnl

Adriaan D. Groot (1978). Thought and choice in chess. Den Haag: Mouton, 1978.

Mac Euwe (1966). Handboek voor de gevorderde schaker. Den Haag: Van Stockum.

Deanna Kuhn (2005). Education for thinking. Harvard University Press.

• The introductory chapter is available on http://books.google.nl/
• related: Ann L. Brown (1997). Transforming schools into communities of thinking and learning about serious matters. American Psychologist, 52, 399-413.

J. H. Larkin, J. H. (1981). Enriching formal knowledge: a model for learning to solve textbook physics problems. In J. R. Anderson Cognitive skills and their acquisition. Hillsdale, New Jersey, Erlbaum, 1981.

Helge Lenné (1969). Analyse der Mathematikdidaktik in Deutschland. Nach dem Nachlass hrsg. von Walter Jung. Stuttgart: Ernst Klett Verlag.

Robert K. Merton and Elinor Barber (2004). The travels and adventures of serendipity. Princeton University Press.

Kees Mettes en Albert Pilot (1980). Over het leren oplossen van natuurwetenschappelijke problemen; een methode voor ontwikkeling en evaluatie van onderwijs, toegepast op een cursus thermodynamica. Proefschrift T.H. Twente. Enschede: Onderwijskundig Centrum.

Allen Newell (1983). The heuristic of George Polya and its relation to artificial intelligence. In Rudolf Groner, Maria Groner and Walter F. Bischof: Methods of heuristics (195-244). Erlbaum. scan 21 Mb Een voorloper in de vorm van een artikel in 1970: pdf.

Allen Newell and Herbert A. Simon (1972). Human problem solving. Prentice Hall.

George Pólya (1945/1957). How to solve it. Princeton University Press.

George Pólya (1954/68). Mathematics and plausible reasoning. Volume I: Induction and analogy in mathematics. Volume II: Patterns of plausible inference. Princeton University Press.

Judi Randi, Elena L. Grigorenko, R. J. Sternberg: Revisiting Definitions of Reading Comprehension: Just What Is Reading Comprehension Anyway? In Susan E. Israel, Cathy Collins Block, Kathryn L. Bauserman, Kathryn Kinnucan-Welsch (Eds) (2005). Metacognition in literacy learning : theory, assessment, instruction, and professional development. Erlbaum.

Olaf Schröder, Claus Möbus, Jörg Folckers, Heinz-Jürgen Thole (1996). Supporting the Construction of Explanation Models and Diagnostic Reasoning in Probabilistic Domains. html not available any longer [2-2008]

Herbert A. Simon (1978). Information-processing theory of human problem solving. In W. K. Estes (Ed.) (1978). Handbook of learning and cognitive processes, volume 5, Human information processing (271-295). Hillsdale, New Jersey: Lawrence Erlbaum.

Herbert A. Simon (1980). Problem solving and education. In D. T. Tuma and F. Reif (Eds.) (1980). Problem solving and education: issues in teaching and research. Erlbaum

Lieven Verschaffel, Brian Greer and Erik de Corte (2000). Making sense of word problems. Lisse: Swets & Zeitlinger.

• See the wordproblems.htm page for annotations
• This is a key publication, summarizing research by the authors, while integrating the research of others on the subject of word problems.

Overige

Janet E. Davidson & Robert J. Sternberg (Eds.) (2003). The Psychology of Problem Solving. Cambridge University Press. pdf van hele boek

Jacob Sake van den Berg (1983). Natuurkunde - vraagstukken - oplossen. Een vakdidactische studie van het leren oplossen van natuurkundevraagstukken in klas vier vwo. Proefschrift T.H. Eindhoven, rector Stan Ackermans, promotoren De Raat en Kieviet. pdf

John R. Hayes (1989 2nd). The Complete Problem Solver. Erlbaum.

Hayes heeft een serieuze poging ondernomen om probleemoplossen als vaardigheid te onderwijzen. Mijns inziens is hem dat niet gelukt, maar het is leerzaam om te zien wat hij dan wél als leerstof voor probleemoplosen presenteert. Zie voor (nog te maken) aantekeningen hier.

David H. Jonassen (2011). Learning to Solve Problems: A Handbook for Designing Problem-Solving Learning Environments. Routledge. [nog niet gezien, waarschijnlijk als eBook beschikbaar in de KB] site

Jonassen doet de oefening van John Hayes nog maar eens over, dertig jaar later. Een eerste blik in dit boek doet vermoeden dat Jonassen het probleemoplossen als losgekoppeld van enige vakinhoudelijke expertise behandelt. Daar wordt waarschijnlijk niemand echt wijzer van, maar het zou velen op het verkeerde been kunnen zetten. Ik moet hier nog naar kijken, zie voor links en aantekeningen: hier.

Links

Voor wiskundig probleemoplossen zie ook matheducation.htm, onder andere het werk van George Polya, Alan Schoenfeld

Ik heb een afzonderlijke projectpagina met literatuur en aantekeningen over probleemoplossen probleemoplossen.htm, tenslotte is dat een bredere thematiek dan het stellen van problemen in toetsen en tests.

Probleemoplossen is een liefdeskindje van protagonisten van vaardigheden die specifiek voor de 21e eeuw van belang zouden zijn. Grotelijkse flauwekul, omdat in dit circuit iedereen elkaar napraat en niemand weet waar ze het eigenlijk over hebben. Zie mijn aantekeningen bij deze academische schandvlek van de SLO toekomst_telt.htm.

Applets

Toren-van-Hanoi probleem html. Verplaats de toren naar een andere staak, grotere stukken mogen niet op kleinere. In de literatuur over kunstmatige intelligentie is dit een veel gebruikt probleem.
Dit probleem is een prachtig casus in intelligentieonderzoek. Zie over het Toren-van-Hanoi probleem bijvoorbeeld Herbert A. Simon: Identifying basic abilities underlying intelligent performance of complex tasks (pp. 76-79). In Lauren B. Resnick (Ed.) (1976). The nature of intelligence (pp. 65-98). Erlbaum. preview

Software

• ACT-R theory, zie ook anderson_2007.htm
• "Soar is a general cognitive architecture for developing systems that exhibit intelligent behavior. Researchers all over the world are using Soar."
  • Allen Newell (1990). Unified theories of cognition. Harvard University Press site. Dit boek is het begin van Soar. De homepage van Allen Newell wordt ook na zijn dood onderhouden: hier, met o.a. het hele archief dat op dit boek betrekking heeft, inclusief scans van drukproeven.
  • John E. Laird (2012). The Soar Cognitive Structure. MIT Press site. [Nog niet gezien; niet in KB als eBook] Paul S. Rosenbloom, John E. Laird & Allen Newell (Eds.) (1993). The Soar Papers. Research on integrated intelligence. MIT Press. Richard L. Lewis (1999 draft/2001). Cognitive theory, SOAR. pdf
  • Richard L. Lewis (1999). Cognitive modeling, symbolic. In Wilson, R. and Keil, F. (eds.), The MIT Encyclopedia of the Cognitive Sciences. Cambridge, MA: MIT Press. pdf
  • Manual 8 pdf
  • A list of publications using Soar here
  
  
• IHMC Cmap Tools site

  • Open source software for the construction of concept maps

  • List of publications using concept mapping html
  
  

      http://www.benwilbrink.nl/projecten/toetsvragen.7.htm http://goo.gl/e0LzJ