Hatano creëeert meteen in de eerste alinea een valse tegenstelling tussen adaptive expertise en routine expertise. Weinig vertrouwenwekkend, ook al erkent Hatano dat voor zijn adaptive expertise uitgebreide domeinkennis een voorwaarde is.
Toch is hier iets merkwaardigs aan de hand. Baroody begint zijn hoofdstuk met twee contrasterende vignetten, 1. ‘A case of inflexible mechanical learning’, en 2. ‘A case of flexibly applied learning.’ De vignetten richten de aandacht op wat de leerlingen doen of niet kunnen doen, maar hebben geen aandacht voor de betreffende leraar. Terwijl ik nu juist vermoed dat de kunstmatige tegenstelling tussen mechanistisch leren en begrijpend leren wel eens een direct gevolg zou kunnen zijn van wat de leraar aan het doen is. Begrijp me goed: ik heb het dan niet over een methode A of B zoals de leraar die volgt, maar ik heb het over de mate waarin de leraar zelf de stof overziet, en inzicht heeft in de verschillende manieren waarop zijn leerlingen met die stof om kunnen gaan. De stelling die ik zou willen verdedigen: de leraar die zijn rekenstof uitstekend beheerst, is in staat daar al de mooie dingen mee te doen zoals in de reform-rekendidactiek beschreven; de leraar die zelf moeite heeft met rekenen, zal er geen bal van terechtbrengen en terugvallen op routinematig leren. Ook dit is natuurlijk een kunstmatig contrast, maar het gaat mij om de kern van de zaak: wil je greep krijgen op rekendidactische kwesties zoals die zich afspelen in de klas, dan zul daar op de juiste wijze empirische data over moeten verzamelen: de mate waarin de laraar
R. Cowan, Does It All Add Up? Changes in Children's Knowledge of Addition Combinations, Strategies, and Principles.
Arthur J. Baroody (2003). The development of adaptive expertise and flexibility: The integration of conceptual and procedural knowledge. In Arthur J. Baroody &Ann Dowker (Eds.) (2003). The Development of Arithmetic Concepts and Skills. Constructing Adaptive Expertise. (1-34) Erlbaum. contents of the book
Bethany Rittle-Johnson & Robert S. Siegler (1998). The relation between conceptual and procedural knowledge in learning mathematics: A review. In Chris Donlan: The Development of Mathematical Skills. Psychology Press. Conclusion
Children’s understanding of mathematical concepts is positively correlated with their ability to execute procedures. In some tasks, conceptual understanding precedes procedural competence; in other tasks, the order is reversed. Four general principles can be used to predict when children will understand key concepts first and when they will use the relevant procedure first. These predictions are primarily based on the relative timing and frequency of children’s exposure to procedures and concepts. Our review also suggests a resolution for the paradox of young children so often being depicted as competent in mathematics whereas older ones are depicted as incompetent: Young children appear competent in early mathematics because they have extensive experience with the procedures and concepts they are learning, whereas older children appear incompetent in later mathematics because they do not have much experience with the procedures and concepts they are learning. The general lesson seems to be that the structure of the environment has a large impact on the developmental relation between conceptual and procedural knowledge.
H. Wu (1999). Basic skills versus conceptual understanding. A bogus dichotomy in mathematics education. American Educator/American Federation of Teachers.
Steven A. Hecht & Kevin J. Vagi (2010). Sources of Group and Individual Differences in Emerging Fraction Skills. Journal of Educational Psychology, 102, 843-859.
Darcy Hallett, Terezinha Nunes & Peter Bryant (2010). Individual Differences in Conceptual and Procedural Knowledge When Learning Fractions. Journal of Educational Psychology, 102, 395-406.
A. Treffers (1982). Basisalgoritmen in het wiskunde-onderwijs op de basisschool. Pedagogische Studiën, 59, 471-483. Dit artikel is een sleutelpublicatie voor het omgekeerde cijferen van Freudenthal c.s.: eerst begrijpen, dan oefenen met begrijpen, en meteen in context etcetera. In rekenblog 3 op het forum van BON heb ik het samenvattende overzicht in zijn geheel geciteerd:
Samenvattend overzicht
De nadruk die bij het wiskundige cijferen op inzicht in de cijferprocedures gelegd wordt, alsmede het vanzelfsprekende volgen van de logische leerstofordening leidend naar de standaard-algoritmen, en het veronachtzamen van in de cijferleergang geïntegreerde contextproblemen (toepassingen), zijn geheel conform de onderwijs-leertheoretische en vakdidactische opvattingen omtrent het wiskundige cijferen volgens de concepten van Dienes (Bruner, Piaget), Gal’perin en (ten dele) Resnick.
Onderzoek heeft uitgewezen dat de nadruk op inzicht (o.a. vanuit optimaliseringsoverwegingen) wel terecht is, maar de zeer lichte toets op toepassingen niet. En de ‘volgzaamheid’ ten aanzien van de standaard-algoritmen en de leerstofordening is mede vanuit andere overwegingen discutabel te noemen. Deze betreffen ten dele de doelstellingen van het cijferonderwijs in het tijdsgewricht waarin kinderen de beschikking over allerhande rekenautomaten (zullen) hebben.
Traditioneel cijferen kan kort gekarakteriseerd worden als rekenen-zonder-hoofd. Dat kan van het wiskundige cijferen zeker niet gezegd worden. In zoverre is er sprake van vooruitgang. Maar ook het wiskundig cijferen heeft z’n beperkingen. De gerichtheid op inzicht is namelijk te zeer tot het besloten terrein van het cijferen bepaald. Aldus kan dit cijferen het beste gekenschetst worden als rekenen-zonder-vleugels: het biedt de (zwakke) leerlingen weinig gelegenheid om boven het cijferen uit te stijgen en een vlucht naar toepassingsgebieden mogelijk te maken. Treffers 1982 p. 481
Jo Nelissen (2008). Gaat oefenen vooraf aan begrip? Het Onderwijsblad, nr 2, 26 januari 2008, 46-47. Als bijlage 8 opgenomen in: Frans Ballering, Harry van Helden, Ton Konings, Hans Krabbendam, Henk Staal Shirley van der Steene (2008). Rekenen voor de lerarenopleiding. Wiskunde voor leerlingen van 12 - 16. APS — derde geheel herziene editie
Hiebert, James Hiebert (Ed.) (1986). Conceptual and Procedural Knowledge: The Case of Mathematics. Erlbaum
The procedures we are describing can be characterized as production systems (Anderson, 1983; Newell & Simon, 1972) in that they require some sort of recognizable input for firing. For the completion of a task, the initial procedure operates on the the input and produces an outcome that is recognized by the next procedure in the sequence. In this way, the sequence of procedures moves the given state (the statement of the problem) to a goal state (the answer).
It is useful to distinguish between two kinds of procedures by noticing the objects upon which they operate. A basic distinction can be drawn between objects that are standard written symbols (e.g., 3, +, √) and objects that are nonsymbolic (e.g., concrete objects or mental images). After students have been in school for a few years, the objects often are symbols. ( . . . ) Examples of school tasks that require nonsymbol procedures are straightedge and compass constructions in geometry (Schoenfeld, this volume) The important point here is that procedures, like concepts, are not all of one kind. Some procedures manipulate written mathematical symbols, whereas others operate on concrete objects, visual diagrams, or other entities. ( . . . )
Perhaps the biggest difference between procedural knowledge and conceptual knowledge is that the primary relationship in procedural knowledge is “after”, which is used to sequence subprocedures and superprocedures linearly. In contrast, conceptual kniowledge is saturated with relationships of many kinds. p. 6-8
Miriam Rosenberg-Lee & Marsha Lovett (2005?). Practice makes perfect? The effects of procedural practice on concept learning. paper doc
Rittle-Johnson, B., Siegler, R. S., & Alibali, M. W. (2001). Developing conceptual understanding and procedural skill in mathematics: An iterative process. Journal of Educational Psychology, 93, 346-362. pdf
Sweller, J., Cognitive load during problem solving: Effects on learning, Cognitive Science, 12, 257-285 (1988).
http://www.benwilbrink.nl/projecten/begrijpen_vs_oefenen.htm